Правило Лопиталя: теория и примеры решений. Если предел равен 0


неопределенность 0/0 | Математика

Если при подстановке предельного значения х получаем  

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{f(a)}}{{g(a)}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = ?\]

то такое выражение называется неопределенностью вида ноль на ноль. Неопределенность 0 на 0 надо убрать.

Чтобы избавиться от непреденности вида ноль на ноль, заданной отношением двух многочленов, надо и в числителе, и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него. Чтобы выделить критический множитель — то есть множитель, равный нулю при предельном значении х — нужно многочлены разложить на множители.

Способы разложения многочлена на множители:

— вынесение общего множителя за скобки;

— по формулам сокращенного умножения;

— группировка;

— по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

    \[a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})\]

где

    \[{x_1}\]

и

    \[{x_2}\]

 корни уравнения

    \[a{x^2} + bx + c = 0\]

.

Можно просто разделить многочлены в числителе и знаменателе уголком на  

    \[(x - a)\]

. Если кратность корня больше единицы, это придется сделать не раз.

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

Что такое предел функции как его найти

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется "доопределить функцию", с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы "Предел"). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину - последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

   (1)

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

   (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Пример 3. Найти предел:

Решение.

 

Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

 

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

.

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Продолжение темы "Предел"

Поделиться с друзьями

function-x.ru

пределы на бесконечность на бесконечность

 

Рассмотрим  пределы на раскрытие неопределенности вида бесконечность на бесконечность.

Сначала учтем следующее:

— если при вычислении предела в числителе дроби  стоит число, то

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{const}}{{{x^k}}} = \left[ {\frac{{const}}{\infty }} \right] = 0\]

— или

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ \pm {x^k}}}{{const}} = \left[ {\frac{{ \pm \infty }}{{const}}} \right] = \pm \infty \]

Выражение вида 

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + ... + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + ... + {b_m}}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = ?\]

— это предел на неопределенность вида бесконечность, деленная на бесконечность (или просто бесконечность на бесконечность).

Чтобы найти предел,  надо раскрыть неопределенность вида бесконечность на бесконечность. Для этого и в числителе, и в знаменателе выносим за скобки степень с наибольшим показателем. Затем сокращаем на нее.

1)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^3} + 3{x^2} - 4x}}{{7{x^3} - 2x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3}(5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}})}}{{{x^3}(7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}}}{{7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}}}} = \frac{5}{7}\]

В дальнейшем просто делим почленно числитель и знаменатель (то есть каждое слагаемое) на старшую степень икса.2)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{x^3} - 7{x^2} + 4}}{{7{x^2} + x - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 - \frac{7}{x} + \frac{4}{{{x^3}}}}}{{\frac{7}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{9}{{{x^3}}}}} = \left[ {\frac{6}{0}} \right] = \infty \]

3)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 + 12{x^2} - 8{x^4}}}{{3{x^2} - 2x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{6}{{{x^4}}} - \frac{{12}}{{{x^2}}} - 8}}{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{5}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{{ - 8}}{0}} \right] = - \infty \]

4)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{8 + 11{x^2} + 3{x^3}}}{{3{x^4} + 5{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{8}{{{x^4}}} + \frac{{11}}{{{x^2}}} + \frac{3}{x}}}{{3 + \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{0}{3}} \right] = 0\]

А теперь сделаем выводы. Пределы на неопределенность бесконечность на бесконечность сводятся к одному из трех вариантов:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + ... + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + ... + {b_m}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}},n = m \hfill \\ 0,n \triangleleft m \hfill \\ \pm \infty ,n \triangleright m. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Примеры для самопроверки: 

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^3} - 2{x^2} - 2}}{{4{x^3} - x + 5}};\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^2} - 11}}{{4{x^3} + 3x + 1}};\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{3{x^2} + 11x - 4}}.\]

Показать решение

 

 

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g'(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g'(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида - ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 8. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Вычислить

.

Решение. Получаем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

.

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости "бесконечность минус бесконечность": .

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Пределы

0)Постоянная величина (число) сама себе служит пределом:.

1а)Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина, т.е. еслих → ∞, то.

1b)Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина, т.е. еслих → 0, то.

2a)Если две переменные стремятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заключена между ними, то и она стремится к этому же пределу. Еслиxn < yn < zn, причемxn → pиzn → p, тоyn → p.

2b)Если две функцииF(x)иФ(х)стремятся к одному и тому же пределуAприх→ p, а значения функцииf(x)заключены между значениямиF(x)иФ(х), тоf(x)стремится к этому же пределуAприх→ p.

Если F(x)≤f(x)≤Ф(х)и

, то.

3) Предел суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) пределов этих слагаемых:

lim (u ± v ± … ± t) = lim u ± lim v ± … ± lim t.

4) Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей:

lim (u · v · … · t) = lim u ·lim v · … · lim t.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела lim c·u = с · lim u.

5) Предел частного равен частному пределов, если только предел делителя (знаменателя) не равен нулю:, если lim v ≠ 0.

6)Если предел числителя не равен нулю, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби является бесконечно большой величиной (см. п.1b):

Если lim u ≠ 0, а lim v = 0, то . Если же lim u =0 и lim v =0, то для нахождения предела необходимы дополнительные исследования.

0)Постоянная величина (число) сама себе служит пределом:.

1а)Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина, т.е. еслих → ∞, то.

1b)Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина, т.е. еслих → 0, то.

2a)Если две переменные стремятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заключена между ними, то и она стремится к этому же пределу. Еслиxn < yn < zn, причемxn → pиzn → p, тоyn → p.

2b)Если две функцииF(x)иФ(х)стремятся к одному и тому же пределуAприх→ p, а значения функцииf(x)заключены между значениямиF(x)иФ(х), тоf(x)стремится к этому же пределуA

при х→ p. ЕслиF(x)≤f(x)≤Ф(х)и

, то.

3) Предел суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) пределов этих слагаемых:

lim (u ± v ± … ± t) = lim u ± lim v ± … ± lim t.

4) Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей:

lim (u · v · … · t) = lim u ·lim v · … · lim t.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

lim c·u = с · lim u.

5) Предел частного равен частному пределов, если только предел делителя (знаменателя) не равен нулю:, если lim v ≠ 0.

6)Если предел числителя не равен нулю, а предел знаменателя равен нулю, то предел дроби является бесконечно большой величиной (см. п.1b): Если lim u ≠ 0, а lim v = 0, то. Если же lim u =0 и lim v =0, то для нахождения предела необходимы дополнительные исследования.

Раскрытие некоторых типов неопределённостей.

7)Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.

8)Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную в форме:, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (х - а) и сократить на него дробь.

9)Чтобы раскрыть неопределенность вида, в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Другие замечательные пределы

Понижение степени

Раскрытие некоторых типов неопределённостей.

7)Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.

8)Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную в форме:, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (х - а) и сократить на него дробь.

9)Чтобы раскрыть неопределенность вида, в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Другие замечательные пределы

Понижение степени

studfiles.net

Как считать пределы

Содержание

  1. Инструкция

Как считать пределы

В учебниках по математическому анализу значительное внимание уделяется приемам вычисления пределов функций и последовательностей. Существуют готовые правила и методы, применяя которые, можно с легкостью решать даже относительно сложные задачи на пределы.

Инструкция

  • В математическом анализе существуют понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:x1, x2, x3...,xm,...,xn... .Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:xn=n^2 - возрастающая последовательностьyn=1/n - убывающая последовательностьТак, например, предел последовательности xn=1/n^2 равен:lim 1/n^2=0x→∞Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.
  • Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией описывается замедление хода поезда, можно говорить о пределе, стремящемся к нулю.У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:* Предел суммы равен сумме пределов:lim(x+y)=lim x+lim y* Предел произведения равен произведению пределов:lim(xy)=lim x*lim y* Предел частного равен частному от пределов:lim(x/y)=lim x/lim y* Постоянный множитель выносят за знак предела:lim(Cx)=C lim xЕсли дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:lim sin x/x=1x→0
  • В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:* неопределенность вида 0/0* неопределенность вида ∞/∞К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:lim f(x)/l(x)=lim f'(x)/l'(x) (при x→0)Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие притом - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)' равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:f'(x)=nx^(n-1)

completerepair.ru

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞ (Лекция №8)

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Обозначим .

    Прологарифмируем это равенство . Найдем .

    Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

(1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

  1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

    Таким образом, получаем

    Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.

    Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

    причем остаток

    Отметим, что для любого x Î R остаточный член

    Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x

    Имеем

    Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

    Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

    Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

    Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

  2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

    Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

    Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

    Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

    .

    Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.

    Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

    Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

    Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

  3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

    Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

  4. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

    Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

    Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

    Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

  5. f(x) = (1+x)m, где m Î R, m≠0.

    При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

    И следовательно,

    Можно показать, что при |x|<1

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) > f(x2).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

  1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
  2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

    Доказательство.

    1. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а

      Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f '(x)≥0.

    2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что . По условию f '(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

    Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

    Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

    Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.

    Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

    Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.

    Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

    1. . Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

      . Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

    2.  

      Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

      Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

    3.  

      .

      Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

www.toehelp.ru