Математика для блондинок. Факториал это простыми словами


Что такое факториал? - Полезная информация для всех

  • Под таким понятием как quot;факториалquot; подразумевается в матиматике произведение именно всех натуральных чисел, включая единицу и вплоть до того числа, которое было задано изначально, включая его. Факториал обозначают таким знаком как quot;!quot;.

    Например: 5! = 1*2*3*4*5

  • Факториал - это термин, с которым сталкиваются уже в старших классах школы и на изучении высшей математики в институте.

    Это латинский термин.

    Он обозначается восклицательным знаком - !.

    Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от единицы до числа n включительно.

    Вот формула:

    n! = 1*2*...*(n-1)*n.

    То есть факториал имеет место только для тех чисел, которые >= 0 и являются целыми.

    Есть интересный момент - это факториал 0, он равен 1.

    Значения:

    0! = 1

    1! = 1

    2! = 1*2 = 2

    3! = 1*2*3 = 6

    4! = 1*2*3*4 = 24

    5! = 1*2*3*4*5 = 120

    Суперфакториал

    Это произведение первых n факториалов.

    Например, sf(3) = 1! * 2! * 3! = 12.

    Этот термин был определн относительно недавно, в 1995 году. Это сделали:

    Применение факториала

    Комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.

  • Факториалом любого числа n называется произведение всех натуральных чисел , начиная с 1 ,продолжая 2 , 3 , и так далее , вплоть до самого числа n , и обозначается значком ! . То есть :

    n ! = 1 * 2 * 3 *....* (n - 2 ) * ( n - 1 ) * ( n ).

    Приведм примеры : 5 ! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 , и так с любым числом.

  • Факториал - это произведение всех натуральных чисел от единицы до данного числа включительно. Факториалы широко используются в комбинаторике. Факториал обозначается знаком quot;!quot;.

    А вот формула факториала: 1 * 2 * 3 * 4 * ... * n = n!

  • Факториал числа N есть количество всевозможных комбинаций каких-либо N объектов.

    Объясню на примере.

    Есть два шара. Первый помечен цифрой 4, второй цифрой 6.

    В данном случае, даны две цифры - 4 и 6, и возможно составить только две комбинации 46 и 64. Это и есть факториал числа 2, т.е. 2! = 2.

    Теперь посчитаем 3!.

    Даны 3 шара с тремя различными цифровыми пометками на каждом. Допустим, это цифры 8, 5, 3.

    Количество возможных комбинаций: 853, 538, 358, 385, 583, 835.

    Значит, 3! = 6.

    Факториал числа можно рассчитать по формуле: n! = 1*2*...*n

  • Значение факториал, часто используют в математике и в математических задачах.

    Факториал, если говорить понятным языком - это произведение всех существующих натуральных чисел.

    Рассчитать факториал, можно по его специальной формуле:

    1 * 2 * 3 * 4 * ... * n = n!

  • Факториаamp;#769;л числа n (обозначается n!, произносится эн факториаamp;#769;л) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

  • info-4all.ru

    Факториал - это... Что такое Факториал?

    Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

    Например:

    По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

    Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

    1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

    Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

    Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией.

    Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

    Свойства

    Рекуррентная формула

    Комбинаторная интерпретация

    В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

    ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

    Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

    Связь с гамма-функцией

    Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

    Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

    Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

    Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

    Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

    Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

    Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

    Формула Стирлинга

    Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

    см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

    Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

    При этом можно утверждать, что

    Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

    • 100! ≈ 9,33×10157;
    • 1000! ≈ 4,02×102567;
    • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

    Разложение на простые числа

    Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

    Таким образом,

    где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

    Другие свойства

    • Для натурального числа n

    Обобщения

    Двойной факториал

    Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

    По определению полагают 0!! = 1.

    Последовательность значений n!! начинается так:

    1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

    Кратный факториал

    m-Кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

    Пусть число n представимо в виде где Тогда[1]

    Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

    Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[2]:

    Убывающий факториал

    Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

    Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

    Возрастающий факториал

    Возрастающим факториалом называется выражение

    Праймориал или примориал

    Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

    11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

    Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

    1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

    Суперфакториалы

    Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

    (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

    В общем

    Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

    Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

    Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

    где для и

    Субфакториал

    Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

    Ссылки

    См. также

    Примечания

    1. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
    2. ↑ wolframalpha.com.

    dic.academic.ru

    Двойной факториал - это... Что такое Двойной факториал?

    Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

    .

    По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

    Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

    Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

    Свойства

    Комбинаторное определение

    В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

    ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

    Связь с гамма-функцией

    Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

    n! = Γ(n + 1)

    Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

    Формула Стирлинга

    Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

    см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

    Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

    При этом можно утверждать, что

    Разложение на простые числа

    Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

    Таким образом,

    ,

    где произведение берется по всем простым числам.

    Другие свойства

    • x!2 > xx > x! > = x, при x>1

    Обобщения

    Двойной факториал

    Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

    По определению полагают 0!! = 1.

    Убывающий факториал

    Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

    Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

    Возрастающий факториал

    Возрастающим факториалом называется выражение

    Праймориал или примориал

    Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

    Последовательность праймориалов начинается так:

    2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

    Суперфакториалы

    Основная статья: Большие числа

    Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

    В общем

    Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

    1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

    Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

    1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

    Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

    где для n > 0 и .

    Субфакториал

    Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

    Ссылки

    См. также

    Wikimedia Foundation. 2010.

    dic.academic.ru

    Факториал, примеры решения

    Теория по факториалам

    Факториал нуля равен единице:

       

    Так же используются факториалы по четным и по нечетным числам. Обозначаются они следующим образом: – двойной факториал по всем четным числам до :

       

    – факториал по всем нечетным числам до :

       

    Эти факториалы связаны равенством

    или

    Факториал широко используется в комбинаторике: перестановки, размещения, сочетания – все они выражаются через факториалы.

    Примеры

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Почему факториал нуля равен единице?

    Термин "факториал" ввел в математику в 1800 году французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст. В математике факториалом называют произведение всех натуральных чисел, включая указанное. Обозначают факториал восклицательным знаком, написанным после числа.

    5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 120

    Официальную версию вхождения факториала в математику я тревожить не стал, поскольку и сам прекрасно догадываюсь, как же было на самом деле. А дело было так…

    Завершив все выкладки по теории и практике факториальных исчислений, Арбогаст понес свое творение на суд Святой Математической Инквизиции. Функции надзора за математиками от имени Святой Математической Инквизиции в данной местности выполняли Святые Ученые Немощи. Ответственность на них лежала огромная, работы было не початый край, точнее, делать было вообще нечего, поэтому Святые Ученые Немощи самозабвенно ковырялись в носу. За этим занятием Их и застал Арбогаст.

    Оформленная по всем правилам бюрократического искусства, папка с теорией факториалов легла пред светлы очи Святых Ученых Немощей. Немощи вынули палец из недоковырянной ноздри, брезгливо поморщились и начали этим же пальцем листать папку, проверяя её соответствие «Закону об оформлении бумаг, подаваемых на рассмотрение Святой Математической Инквизиции». Явного повода отказать Арбогасту в рассмотрении его бумаг, к огромному сожалению Святых Ученых Немощей, не нашлось. Досада поморщила Их официальное лицо, тем временем руководящая рука уже доставала бланк Официальной Челобитной, Книгу Регистрации Посетителей, Книгу Регистрации Входящих Документов, Книгу Регистрации Уходящих Посетителей и прочие сокровища Ответственной Руководящей Должности.

    Тщательно сверив всё, написанное рукой Арбогана, с «Толковым словарем для бестолковых Бюрократов. Правила написания Слов и Букв» (сей шедевр прятался от глаз посетителей под грифом «Для служебного пользования»), Святые Ученые Немощи изрекли:

    - Ваши материалы будут рассмотрены в установленный Законом срок.

    Руководящий палец погрузился в ту же ноздрю, продолжая прерванную работу, что должно было означать конец аудиенции.

    По прошествии положенного по закону времени, Аргобан снова стоял перед Святыми Учеными Немощами. Немощи недовольно поморщились, почесали свой затылок, питаясь вспомнить о чем идет речь, потом достали папку с факториалом и углубились в изучение. Ответ нужно было дать сегодня, поскольку отведенное на бюрократическую волокиту время уже закончилось. Немощи поерзали задом, проверяя, достаточно ли крепко держится под ними Руководящее Кресло. Руководящее Кресло предательски скрипнуло.

    – А известно ли уважаемому Аргобану, что ноль является натуральным числом? – изрекли Немощи, облегченно вздохнув, – Все ваши факториалы по определению будут равняться нулю.

    Напомню читателям, что дело происходило на диком западе, где и сегодня ноль считается натуральным числом.

    – Но ваша работа очень интересна и будет действительно жаль, если она останется никому не известной – продолжали Немощи – Я бы мог посодействовать публикации вашей работы, если вы добавите меня в соавторы.

    Это очень распространенный в науке прием, при помощи которого бездари карабкаются по служебной лестнице. Предложение нисколько не удивило Аргобана, и он ответил:

    – Я сочту за великую честь быть в соавторах такого выдающегося ученого, как вы. Но как же быть с нулем?

    – Как ученый, я не вижу особых проблем, – от принятого предложения Немощи начали излучать самодовольство и величие, – В Святом Математическом Писании сказано, что любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. Но в этом Писании нет ни слова о факториале нуля. Я приложу к вашей работе свое прошение к Святой Математической Инквизиции о внесении изменений в текст Святого Математического Писания. Пусть допишут, что факториал нуля равен единице.

    На том и порешили. Аргобан тут же вписал в свою работу соавтора. Святые Ученые Немощи нашкалябали прошение. Все это творение немедленно было отправлено на рассмотрение вышестоящего научного начальства.

    Вышестоящее научное начальство прекрасно знало все правила бюрократических игр. Имя Аргобана никто не трогал, а вот имя своего подчиненного каждый вышестоящий начальник сошкрябывал и вписывал себя, любимого, на место соавтора. В итоге дошкрябались до того, что в соавторах Аргобана оказалась дырка.

    С тех самых пор в Святом Математическом Писании присутствует шедевр научной мысли: Евангелие от Правил Умножения гласит, что ноль, умноженный на единицу, будет равен нулю

    0 х 1 = 0

    Евангелие от Факториала утверждает, что ноль, умноженный на единицу, равен единице

    0 х 1 = 1

    Вот так математика превращается в маразм.

    _______________

    Это было литературное произведение. А теперь суровая проза жизни. Правила бюрократических игр в науку остались неизменными. И сегодня, для того, что бы получить право откусить свой кусок от научного пирога, нужно представить пред светлы очи Святой Научной Инквизиции список своих научных заглуг. Единицей измерения заслуг в научном мире являются научные публикации. Одним из журналов, предоставляющих такую возможность, является журнал "Молодой учёный". Этот журнал получил свой "одобрямс" у Святой Научной Инквизиции и публикации в этом журнале засчитываются в качестве научных публикаций при восхождении на научный Олимп. Правила оформления статей довольно демократичны, по зубам даже блондинкам. Так что, если у вас есть научная мыслЯ, можете поделиться ею с человечеством (благодарным или не благодарным - это уж как у вас получится).

    www.webstaratel.ru

    Факториал - Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Факториа́л натурального числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

    n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}

    Например:

    5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

    По общепринятому соглашению, 0!=1{\displaystyle 0!=1}.

    Факториалы всех чисел составляют последовательность в OEIS; значения в научной нотации округляются n n!
    0 1
    1 1
    2 2
    3 6
    4 24
    5 120
    6 720
    7 5040
    8 40320
    9 362880
    10 3628800
    11 39916800
    12 479001600
    13 6227020800
    14 87178291200
    15 1307674368000
    16 20922789888000
    17 355687428096000
    18 6402373705728000
    19 121645100408832000
    20 2432902008176640000
    25 ≈1,551121004 × 1025
    50 ≈3,041409320 × 1064
    70 ≈1,197857167 × 10100
    100 ≈9,332621544 × 10157
    450 ≈1,733368733 × 101000
    1000 ≈4,023872601 × 102567
    3249 ≈6,412337688 × 1010000
    10000 ≈2,846259681 × 1035659
    25206 ≈1,205703438 × 10100000
    100000 ≈2,824229408 × 10456573
    205023 ≈2,503898932 × 101000004
    1000000 ≈8,263931688 × 105565708
    10100 ≈109,956570552 × 10101
    101000 ≈10101003
    1010 000 ≈101010 004

    Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

    Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например

    encyclopaedia.bid