Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления? Как число представить в двоичной системе счисления


Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:0 – это ноль1 – это один (и это предел разряда)10 – это два11 – это три (и это снова предел)100 – это четыре101 – пять110 – шесть111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)38 / 2 = 19 (0 остаток)19 / 2 = 9 (1 остаток)9 / 2 = 4 (1 остаток)4 / 2 = 2 (0 остаток)2 / 2 = 1 (0 остаток)1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

inf1.info

Бинарные числа: двоичная система счисления

Бинарные числа - это числа из двоичной системы счисления, имеющей основание 2. Она непосредственно реализована в цифровой электронике, используется в большинстве современных вычислительных устройств, включая компьютеры, мобильные телефоны и разного рода датчики. Можно сказать, что все технологии нашего времени построены на бинарных числах.

бинарные числа

Запись чисел

Любое число, сколь бы большим оно ни было, в двоичной системе записывается посредством двух символов: 0 и 1. Например цифра 5 из всем знакомой десятичной системы в двоичной будет представлено как 101. Бинарные числа могут быть обозначены префиксом 0b или амперсандом (&), например: &101.Во всех системах счисления, исключая десятичную, символы читаются по одиночке, то есть взятое в пример 101 читается как "один ноль один".

Перевод из одной системы в другую

Программисты, постоянно работающие с двоичной системой счисления, на ходу могут перевести бинарное число в десятичное. Это действительно можно сделать и без всяких формул, особенно если человек имеет представление о том, как работает самая малая часть компьютерного "мозга" - бит.

Цифра ноль так же обозначает 0, а цифра один в двоичной системе тоже будет единицей, но что делать дальше, когда цифры закончились? Десятичная система "предложила" бы в таком случае ввести термин "десяток", а в бинарной системе это будет называться "двойка".

бинарное число в десятичное

Если 0 это &0 (амперсанд - обозначение двоичной системы), 1 = &1, то 2 будет обозначаться как &10. Тройку тоже можно записать в двух разрядах, она будет иметь вид &11, то есть одна двойка и одна единица. Возможные комбинации исчерпаны, и в десятичной системе на этом этапе вводятся сотни, а в двоичной - "четверки". Четыре - это &100, пять - &101, шесть - &110, семь - &111. Следующая, более крупная единица счета - это восьмерка.

Можно заметить особенность: если в десятичной системе разряды умножаются на десять (1, 10, 100, 1000 и так далее), то в двоичной, соответственно, на два: 2, 4, 8, 16, 32. Это соответствует размеру флеш-карт и прочих накопителей, использующихся в компьютерах и других устройствах.

Что такое бинарный код

Числа, представленные в двоичной системе счисления, называются бинарными, однако в таком виде можно представить и не числовые значения (буквы и символы). Таким образом, в цифрах можно закодировать слова и тексты, правда вид они будут иметь не столь лаконичный, ведь для записи всего одной буквы потребуется несколько нолей и единиц.

Но каким образом компьютерам удается считывать такое количество информации? На самом деле все проще, чем кажется. Люди, привыкшие к десятичной системе счисления, сначала переводят двоичные числа в более привычные, и только потом производят с ними какие-либо манипуляции, а в основе компьютерной логики изначально лежит бинарная система чисел. Единице в технике соответствует высокое напряжение, а нулю - низкое, либо для единицы напряжение есть, а для ноля вообще отсутствует.

бинарный код числа

Бинарные числа в культуре

Ошибкой будет считать, что двоичная система счисления - это заслуга современных математиков. Хотя бинарные числа и являются основополагающими в технологиях нашего времени, использовались они уже очень давно, причем в разных уголках планеты. Используются длинная линия (единица) и прерывистая (ноль), кодирующие восемь символов, означающих восемь стихий: небо, землю, гром, воду, горы, ветер, огонь и водоем (массу воды). Этот аналог 3-битных цифр описывался в классическом тексте книги Перемен. Триграммы составляли 64 гексаграммы (6-битные цифры), порядок которых в книге Перемен был расположен в соответствии с двоичными цифрами от 0 до 63.

Этот порядок был составлен в одиннадцатом веке китайским ученым Шао Юном, хотя нет доказательств того, что он действительно понимал двоичную систему счисления в целом.

В Индии еще до нашей эры тоже применялись бинарные числа в математической основе для описания поэзии, составленные математиком Пингалой.

Узелковая письменность инков (кипу) считается прообразом современных баз данных. Именно они впервые применили не только бинарный код числа, но и не числовые записи в двоичной системе. Узелковое письмо кипу характерно не только первичными и дополнительными ключами, но и использованием позиционных чисел, кодированием с помощью цвета и сериями повторений данных (циклами). Инки впервые применили способ ведения бухгалтерского учета, называемый двойной записью.

бинарная система чисел

Первый из программистов

Двоичную систему счисления, основанную на цифрах 0 и 1, описал и знаменитый ученый, физик и математик, Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он увлекался древней китайской культурой и, изучая традиционные тексты книги Перемен, заметил соответствие гексаграмм бинарным числам от 0 до 111111. Он восхитился свидетельствам подобных достижений в философии и математике для того времени. Лейбница можно назвать первым из программистов и информационных теоретиков. Именно он обнаружил, что если записать группы двоичных чисел вертикально (одно под другим), то в получившихся вертикальных столбцах чисел будут регулярно повторяться ноли и единицы. Это позвонило ему предположить, что возможно существование совершенно новых математических законов.

Лейбниц понял и то, что бинарные числа оптимальны для применения в механике, основой которой должна быть смена пассивных и активных циклов. На дворе был 17 век, а этот великий ученый изобрел на бумаге вычислительную машину, работавшую на основе его новых открытий, однако быстро понял, что цивилизация еще не достигла такого технологического развития, и в его время создание такой машины будет невозможным.

fb.ru

Что такое двоичная система счисления? Как перевести десятичное число в двоичное? :: SYL.ru

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется "двоичная система счисления".

Запись числа в системе

В десятичной

В двоичной

В десятичной

В двоичной

0

0

5

101

1

1

6

110

2

10

7

111

3

11

8

1000

4

100

9

1001

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 1012. Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 – в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 1012=1×22+0×21+1×20=4+1=510, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

108:2=54 (остаток 0) и так далее до конца.

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 87110=1011001112. Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

www.syl.ru

Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления

Математика Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления

просмотров - 4469

Положительные числа нами были рассмотрены ранее. Рассмотрим способы представления отрицательных чисел в двоичном коде. Существует несколько способов такого представления. Мы рассмотрим три:

1. прямой код (в этом случае в двоичном числе выделяется бит-знака - старший бит). Рассмотрим однобайтное (8 бит) двоичное число со знаком.

Старший бит младший бит

бит-знак мантисса

Рисунок 2.5 - Представление однобайтных чисел со знаком

В случае если бит-знак равен 0, то число считается положительным, а если бит-знак равен 1 = отрицательным.

К примеру, 1210=000011002

-1210=100011002

Недостатком прямого кода является невозможность выполнения арифметических операций.

Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0

+10001100

10011000 (-24)

Как видим в результате сложения получились число -24, что не равно 0.

2. смещенный код (аналогично прямому коду двоичное число, в смещенном число разделяется на бит-знак и мантиссу, причем, если бит-знак равен 0, то это число отрицательное, а если бит-знак равен 1 - положительное).

Числа здесь представляются так:

Таблица 2.1

Число в смещенном коде Двоичный код Число без знака
………. ……… ..…….
-1
………. ………. ………
-127
-128

Достоинством данной системы является то, что в ней выполняются арифметические операции, правда с учетом коррекции результата. А недостатком является то, что 0 соответствует числу 128.

Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0

+01110100

100000000 (0)

Как видим, в результате операции получилось число 256. Ограничив предел рассмотрения одним байтом, получим 00000000, к этому результату нужно прибавить смещение 128.

Рассмотрим сложение: 12+(-13)=0

+01110011

11111111 (-1)

Как видим, и в данном случае к результату крайне важно прибавить 128 и ограничить рассмотрение одним байтом.

3. дополнительный код (это наиболее широко используемый код для представления отрицательных чисел). В нем в числе также выделяется бит-знак в старшем разряде. В дополнительном коде ноль в старшем разряде соответствует положительным числам, а единица - отрицательным числам, но при этом положительные числа представляются как обычно, а отрицательные - в виде записи дополнительного кода.

Рассмотрим порядок перевода числа -9 из десятичной системы в дополнительный код:

1. запишем число без знака: 9;

2. преобразуем число в двоичный код: 00001001;

3. получим обратный код: 11110110;

4. прибавим 00000001 и получим: 11110111.

В случае если результат операции представлен в дополнительном коде, то для перевода его в десятичный вид используем нижеследующую процедуру

1. запишем дополнительный код: 11110111;

2. получим обратный код: 00001000;

3. прибавим 00000001: 00001001;

4. преобразуем число в десятичный код: -9

Знак минус мы добавили, так как знаем, что наше исходное число в дополнительном коде отрицательное (старший бит равен 1)

Рассмотрим таблицу соответствия чисел представленных в дополнительном коде.

Таблица 2.2

Число со знаком Двоичный код Число без знака
+127
………………………. ………………………… …………………………
+2
+1
+0
-1
-2
-3
………………………. ………………………… …………………………
-128

В дополнительном коде сохраняются всœе правила выполнения арифметических операций.

Читайте также

  • - Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления

    Положительные числа нами были рассмотрены ранее. Рассмотрим способы представления отрицательных чисел в двоичном коде. Существует несколько способов такого представления. Мы рассмотрим три: 1. прямой код (в этом случае в двоичном числе выделяется бит-знака - старший бит).... [читать подробенее]

  • oplib.ru

    Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

    Вариант 2005

    A4

    Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

    1)

    10010112

    2)

    11001012

    3)

    10100112

    4)

    1010012

    A5

    Ответ: 3). Решение: Старший разряд двоичного эквивалента числа 83 равен 6, так как 26 =64. Это максимальная степень двойки, которая меньше заданного числа. 83-64=19, значит, следующая единица стоит в 4-ом разряде. 19-16= 3. 3-2=1, эта единица – в нулевом разряде, а число 2 – единица в первом разряде Таким образом, единицы стоят в 0, 1, 4, 6 разрядах, в остальных разрядах – нули. Получаем 10100112

    Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если

    x=10101012

    y=10100112

    1)

    101000102

    2)

    101010002

    3)

    101001002

    4)

    101110002

    B1

    Ответ: 2). Решение: Вспомним, что 12+12=102, поэтому 10101012

    +10100112

    101010002

    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

    Ответ: 3, 7, 21. Решение: Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую нужно делить это число нацело на основание искомой системы счисления. При первом делении мы получаем в остатке целочисленного деления последнюю цифру искомого числа. Два в остатке получается при делении числа 23 на 3, 7, 21.

    Вариант 2006

    A4

    Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно

    Ответ: 1). Решение: число 128=27=100000002, значит 127=11111112, а 126=11111102

    A5

    Вычислите сумму чисел x и y,при x= 1D16, y= 728.

    Результат представьте в двоичной системе счисления.

    1)

    100011112

    2)

    11001012

    3)

    1010112

    4)

    10101112

    Ответ:4). Решение: x = 1D16=111012, y = 1110102 111012

    +1110102

    B1

    10101112

    В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

    Ответ: основание=4. Решение: 17:4=4, остаток 1, 4:4=1, остаток 0. записываем последнее частное и все остатки в обратном порядке. Получаем 101

    Вариант 2007

    A4

    Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

    Ответ:4). Решение: 195-128=67, 67-64=3. Значит первая единица в 6-ом разряде, вторая в 6-ом, третья – во втором и четвертая – в первом. Всего четыре единицы.

    A5

    Значение выражения 1016 + 108 · 102 в двоичной системе счисления равно

    1)

    1010

    2)

    11010

    3)

    100000

    4)

    110000

    Ответ:3). Решение: 108=10002, 10002· 102=100002, 1016=100002 В результате сложения 100002 + 100002 = 1000002

    Или переведем выражение1016 + 108 · 102 в десятичную систему счисления. Получим

    16 + 8·2 =16+16+32 = 1000002

    B1

    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

    Ответ:6, 9, 18. Решение: Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую нужно делить это число нацело на основание искомой системы счисления. При первом делении мы получаем в остатке целочисленного деления последнюю цифру искомого числа. 4 в остатке получается при делении числа 22 на 6, 9, 18.

    Вариант 2008

    A4 Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 194,5?

    1) 5 2) 6 3) 3 4) 4

    Ответ:4). Решение: Целая часть числа. Старший разряд двоичного эквивалента числа 194 равен 7, так как 27 =128. Это максимальная степень двойки, которая меньше заданного числа. 194-128=66, значит, следующая единица стоит в 6-ом разряде. 66-64= 2, это единица – в первом разряде, Таким образом, в целой части числа единицы стоят в 1, 6, 7 разрядах, в остальных разрядах – нули. Получаем 110000102. Дробная часть десятичного числа 0,5 это 0,12 , так как двоичная единица в -1 разряде это 2-1 десятичное, то есть 0,5. Получаем 194,5 = 11000010,12

    Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

    Для перевода правильной десятичной дpоби  F  в систему счисления с основанием  q  необходимо  F  умножить на  q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на  q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F   в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F   в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F  составляет k  знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

    0, 5 = 0,12

    х 2

    1 0

    A5 Вычислите сумму чисел xи у, при x= A616, y= 758.

    Результат представьте в двоичной системе счисления.

    1. 110110112

    2. 111100012

    3. 111000112

    4. 100100112

    Ответ:3). Решение:x= A616 = 101001102 , y= 758 = 1111012 101001102

    + 1111012

    111000112

    B1 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

    Ответ: 3, 7, 21. Решение: Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую нужно делить это число нацело на основание искомой системы счисления. При первом делении мы получаем в остатке целочисленного деления последнюю цифру искомого числа. Два в остатке получается при делении числа 23 на 3, 7, 21.

    Вариант 2009

    A3 Дано a=D716, b=3318. Какое из чисел с, записанных в двоичной системе, отвечает условию a<c<b?

    1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000

    Ответ:4). Решение: a = 110101112

    b = 110110012

    Четыре старших разряда всех вариантов ответов и чисел a и b одинаковы, поэтому будем сравнивать сумму весов младших четырех разрядов. Это для a – 710, для b – 910, ищем ответ с числом 810 в 4-х младших разрядах. Это 10002, то есть 4-ый вариант ответа.

    A4 Чему равна сумма чисел 438 и 5616?

    1) 1218 2) 1718 3) 6916 4) 10000012

    Ответ:2). Решение:

    438 = 1000112 5616 = 10101102 1010110

    +100011

    11110012 = 1718

    B3 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.

    Ответ: 5, 21 Решение: Среди десятичных чисел > 4 и <25 остаток 1 при делении нацело на 4 (последняя цифра числа в системе счисления с основанием 4) только у чисел 5, 9, 13, 17, 21. Последние две цифры 11 приделении нацело на 4 только– только у числа 5 (остаток 1 и частное 1) и у числа 21 (первый и второй остатки = 1, то есть две последние цифры)

    Или проще:

    114 = 41 + 40 = 5

    1114 = 42 + 5 = 21

    10114 = 43 + 21 > 25

    Вариант 2010

    A1

    Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A<C<B?

    1) 100110102

    2) 100111102

    3) 100111112

    4) 110111102

    Ответ: 2) Решение: a = 100111012

    b = 100111112

    Видно, что число 4) не подходит, оно больше b, больше a и меньше b только число 2)

    A4

    Вычислите сумму чисел X и Y, если

    X=1101112

    Y=1358

    Результат представьте в двоичном виде.

    1) 110101002

    2) 101001002

    3) 100100112

    4) 100101002

    Ответ:4) Решение: X=1101112= 678

    X + Y =678+1358 = 2248 =100101002

    A11

    Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г используется посимвольное кодирование: А-00, Б-11, В-010, Г-011. Через канал связи передается сообщение: ВАГБГВ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученную двоичную последовательность переведите в шестнадцатеричный вид.

    1) AD34 2) AD34 3) 101334 4) CADBCD

    Ответ:2) Решение: двоичный код сообщения ВАГБГВ = 010 00 011 11 011 0102

    Переведем число вшестнадцатеричный вид, разбивая его на тетрады, справа налево. И получим 43DA

    В3

    В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

    Ответ: 7) Решение: Для перевода числа из системы счисления с основанием Х разложим его по степеням этого основания

    100х=1·х2 + 0·х1+0·х0=х2=49, значит х=7.

    Можно проверить целочисленным делением 49 на 7. Получим 1007

    textarchive.ru

    Двоичная система счисления, 0 и 1, двоичные числа

    Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

    Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

    Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

    Общая форма записи двоичных чисел

    Для целых двоичных чисел можно записать:

    an−1an−2...a1a0=an−1⋅2n−1+an−2⋅2n−2+...+a0⋅20

    Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

    Правила сложения двоичных чисел

    Основные правила сложения однобитовых чисел

    0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

    Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

    Пример сложения двоичных чисел

    Правила вычитания двоичных чисел

    0-0=0 1-0=0 10-1=1

    Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

    Вычитание методом заимствования

    Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании). Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

    Вот несколько простых примеров:

    1 - 0 = 1 11 - 10 = 1 1011 - 10 = 1001

    Рассмотрим более сложную задачу. Вы должны запомнить только одно правило, чтобы решать задачи на вычитание двоичных чисел. Это правило описывает заимствование цифры слева, чтобы вы могли вычесть 1 из 0 (0 - 1).

    110 - 101 = ?

    В первом столбце справа вы получаете разность 0 - 1. Для ее вычисления необходимо позаимствовать цифру слева (из разряда десятков).

    Во-первых, зачеркните 1 и замените ее на 0, чтобы получить такую задачу: 1010 - 101 = ? Вы вычли («позаимствовали») 10 из первого числа, поэтому вы можете написать это число вместо цифры, стоящей справа (в разряд единиц). 101100 - 101 = ? Вычтите цифры в правом столбце. В нашем примере: 101100 - 101 = ? Правый столбец: 10 - 1 = 1. 102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210 (цифры нижнего регистра обозначают систему счисления, в которой записаны числа). 12 = (1x1) = 110.

    Таким образом, в десятичной системе эта разность записывается в виде: 2 - 1 = 1.

    Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

    101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

    Вычитание методом дополнения

    Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

    Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

    Рассмотрим пример: 1011002 - 111012= ?

    Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

    1011002 - 0111012= ?

    В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

    0111012 → 1000102.

    На самом деле мы «забираем дополнение у единицы», то есть вычитаем каждую цифру из 1. Это работает в двоичной системе, так как у такой «замены» может быть только два возможных результата: 1 - 0 = 1 и 1 - 1 = 0.

    К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

    1000102+ 12 = 1000112

    Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

    1011002 +1000112= ?

    Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

    1) Переведем числа в двоичную систему счисления: Допустим, что из числа 1011012 нужно вычесть 110112

    2) Обозначим как A число 1011012 и как B число 110112.

    3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

    Разр.

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    A

     

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    B

       

    1

    1

    0

    1

    1

     

    4) Вычтем разряд за разрядом из числа A число B записывая результат в C начиная с младших разрядов. Правила поразрядного вычитания, для двоичной системы счисления представлены в таблице ниже.

    Заемиз текущего разрядаOi-1

    Ai

    Bi

    Ci

    Заемиз следующего разрядаOi+1

     

    0

    0

    0

     

     

    0

    1

    1

    1

     

    1

    0

    1

     

     

    1

    1

    0

     

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

     

    1

    1

    1

    1

    1

     

    Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:

    (красным шрифтом показаны заёмы из соответствующего разряда)

    Получилось 1011012 - 110112 = 100102 или в десятичной системе счисления: 4510 - 2710 = 1810

    Правила умножения двоичных чисел.

    В целом эти правила очень просты и понятны.

    0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

    Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит точно также как и обычных. Каждое значащий разряд умножаем на верхнее число по приведенным правилам, соблюдая позиции. Умножать просто - так как умножение на единицу даёт одно и тоже число.

    ×

         

    1

    1

    1

    0

           

    1

    0

    1

     

    +

         

    1

    1

    1

    0

     

    1

    1

    1

    0

       
     
     

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

     

    Система счисления Методы перевода десятичного числа в двоичное

    inphormatika.ru

    Информатика и ИКТ - Системы счисления

    Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

    Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

    В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

    11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.II – здесь обе единицы обозначают единицу.

    345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

    XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

    Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

    В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

    Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

    Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

    Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

    Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

    Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

     

    Двоичная система счисления

    В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

    Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

    В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

    Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

    Попробуем считать в двоичной системе:0 – это ноль1 – это один (и это предел разряда)10 – это два11 – это три (и это снова предел)100 – это четыре101 – пять110 – шесть111 – семь и т.д.

    Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

    Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

    В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

    1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

    Можно пойти еще дальше и разложить так:

    1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

    Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

    Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

    10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

    Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

    1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

    Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

    100010012 = 13710

    Почему двоичная система счисления так распространена?

    Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

    Перевод десятичного числа в двоичное

    Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

    77 / 2 = 38 (1 остаток)38 / 2 = 19 (0 остаток)19 / 2 = 9 (1 остаток)9 / 2 = 4 (1 остаток)4 / 2 = 2 (0 остаток)2 / 2 = 1 (0 остаток)1 / 2 = 0 (1 остаток)

    Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

    1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

    Восьмеричная система счисления

    Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

    В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

    000 – 0001 – 1010 – 2011 – 3100 – 4101 – 5110 – 6111 – 7

    Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

    1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

    Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 10111012 = 1358.

    Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

    1008 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

    Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

    6728 = 6 * 82 + 7 * 81 + 2 * 80 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 442101008 = 1 * 82 + 0 * 81 + 0 * 80 = 6410

    Шестнадцатеричная система счисления

    Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

    В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

    При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

     

    Например:10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

    Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

    4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

    Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи - это FF.

    FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

    255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние.

     

    iktinform.3dn.ru