Действия с матрицами. Как матрицу разделить на число


Как делить матрицы

2 методика:Деление матрицы на числоДеление матрицы на матрицу

Матрицы -- это векторные математические объекты, содержащие 2 или более скалярных элемента. Матрицы используются для нахождения многих неизвестных в системах скалярных уравнений, и для операций с большими массивами чисел. Как и со скалярными величинами (например, числами 1, 2, 3, 4), с векторами можно производить математические вычисления, такие как сложение, вычитание и умножение. Однако матрицы нельзя непосредственно разделить одну на другую. Для деления матриц необходимо произвести действие, состоящее из двух этапов. Вначале определяется матрица, обратная делителю (знаменателю). Затем на эту матрицу умножается та, которую делят, или матрица-числитель. Такой метод позволяет получить искомый результат, не производя деление непосредственно. В этой статье рассказывается, как делить матрицы.

Шаги

Метод 1 из 2: Деление матрицы на число

  1. 1 Поделите матрицу на скалярную величину. Хотя деление матрицы на другую матрицу не определено строго, матрицу всегда можно разделить на скалярную величину. Такое деление заключается в делении каждого элемента матрицы на данное число.

Метод 2 из 2: Деление матрицы на матрицу

  1. 1 Определите матрицу, обратную матрице-знаменателю. Методы нахождения обратных матриц и других действий с матрицами можно найти в учебниках и справочниках по математике.
    • Вычислите детерминант матрицы-знаменателя. Процедура нахождения детерминанта матрицы описана в математических учебниках. Цель данного шага заключается в том, чтобы определить, отличен ли детерминант матрицы от нуля. Если детерминант матрицы-делителя равен нулю, это означает, что данная матрица необратима, то есть для нее не существует обратной матрицы.
    • В этом случае прекратите дальнейшие действия. Если матрица, обратная матрице-делителю не существует, дальше можно не продолжать. Такая ситуация подобна делению на ноль, не допустимому для скалярных величин.
    • Если детерминант не равен нулю, найдите матрицу, обратную матрице-знаменателю. Наиболее распространенные способы нахождения обратной матрицы -- метод Гаусса-Жордана и процедура нахождения матрицы алгебраических дополнений.
    • Проверьте, правильно ли вы нашли обратную матрицу. Умножьте обратную матрицу на пряму, в результате вы должны получить единичную матрицу. Единичная матрица -- это такая, все элементы которой равны нулю, кроме диагональных, которые равны единице.
  2. 2 Умножьте матрицу-числитель на обратную знаменателю матрицу. Учтите, что, в отличие от умножения скалярных величин, в данном случае порядок множителей имеет значение. При умножении чисел 2, умноженное на 4 дает тот же результат, что и 4, умноженное на 2. В векторной математике умножение матрицы-числителя на обратную знаменателю матрицу дает результат, отличный от того, если бы обратная матрица была помножена на матрицу-числитель.
  3. 3 Заметьте, что результат умножения матриц соответствует искомому. Матрица, не определенная строго в матричной алгебре, вычисляется путем нахождения обратной матрицы и умножения на нее делимой матрицы.

ves-mir.3dn.ru

Как делить матрицы | Сделай все сам

Матричная алгебра – раздел математики, посвященный постижению свойств матриц, их использованию для решения трудных систем уравнений, а также правилам действий над матрицами, включая деление.

Инструкция

1. Существует три действия над матрицами: сложение, вычитание и умножение. Деление матриц, как таковое, действием не является, но его дозволено представить в виде умножения первой матрицы на матрицу, обратную ко 2-й:A/B = A·B^(-1).

2. Следственно операция деления матриц сводится к двум действиям: поиску обратной матрицы и умножению ее на первую. Обратной именуется такая матрица A^(-1), которая при умножении на A дает единичную матрицу.

3. Формула обратной матрицы: A^(-1) = (1/?)•B, где ? — определитель матрицы, тот, что должен быть хорош от нуля. Если это не так, то обратная матрица не существует. B – матрица, состоящая из алгебраических дополнений начальной матрицы А.

4. Скажем, исполните деление заданных матриц.

5. Обнаружьте матрицу, обратную ко 2-й. Для этого вычислите ее определитель и матрицу алгебраических дополнений. Запишите формулу определителя для квадратной матрицы третьего порядка:? = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a31·a22·a13 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32 = 27.

6. Определите алгебраические дополнения по указанным формулам:A11 = a22•a33 — a23•a32 = 1•2 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6;A12 = -(a21•a33 — a23•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A13 = a21•a32 — a22•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A21 = -(a12•a33 — a13•a32) = -((-2)•2 — 1•2) = -(-4 — 2) = 6;A22 = a11•a33 — a13•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A23 = -(a11•a32 — a12•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A31 = a12•a23 — a13•a22 = (-2)•(-2) – 1•1 = 4 – 1 = 3;A32 = -(a11•a23 — a13•a21) = -(2•(-2) — 1•2) = -(-4 — 2) = 6;A33 = a11•a22 — a12•a21 = 2•1 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6.

7. Поделите элементы матрицы алгебраических дополнений на величину определителя, равную 27. Таким образом, вы получили матрицу, обратную ко 2-й. Сейчас задача сводится к умножению первой матрицы на новую.

8. Исполните умножение матриц по формуле C = A*B:c11 = a11•b11 + a12•b21 + a13•b31 = 1/3;c12 = a11•b12 + a12•b22 + a13•b23 = -2/3;c13 = a11•b13 + a12•b23 + a13•b33 = -1;c21 = a21•b11 + a22•b21 + a23•b31 = 4/9;c22 = a21•b12 + a22•b22 + a23•b23 = 2/9;c23 = a21•b13 + a22•b23 + a23•b33 = 5/9;c31 = a31•b11 + a32•b21 + a33•b31 = 7/3;c32 = a31•b12 + a32•b22 + a33•b23 = 1/3;c33 = a31•b13 + a32•b23 + a33•b33 = 0.

Разделять на ноль невозможно, это вестимо всем школьнику, но многим идеально неясно отчего. Поводы этого правила дозволено узнать только в высшем учебном заведении, и то только если вы будете постигать математику. В реальности, основание того, что на ноль разделять невозможно, не такое уж трудное. Узнать это было бы дюже увлекательно многим школьникам.

Повод того, что невозможно разделять на ноль , лежит в математике. В то время как в арифметике есть четыре основные операции над числами (это сложение, вычитание, умножение и деление), в математике таких только две из них (это сложение и умножение). Именно они включены в определение числа. Дабы определить, что такое вычитание и деление, необходимо воспользоваться сложением и умножением и вывести новые операции из них. Дабы осознать данный момент, благотворно разглядеть несколько примеров. Скажем, операция 10-5, с точки зрения ученика школы, обозначает, что от числа 10 отнимается число 5. Но математика ответила бы на вопрос о том, что тут происходит, напротив. Данная операция была бы сведена к уравнению x+5=10. Незнакомое в данной задаче это x, именно оно и является итогом так называемого вычитания. С делением все происходит подобно. Оно каждого лишь верно также выражается через умножение. При этом, итог – это примитивно подходящее число. Скажем, 10:5 математик записал бы как 5*x=10. Данная задача имеет однозначное решение. Учтя все это, дозволено осознать, отчего невозможно разделять на ноль . Запись 10:0 превратилась бы в 0*x=10. То есть, итогом стало бы число, которое при умножении на 0 дает другое число. Но каждому знаменито правило о том, что всякое число, умноженное на ноль , дает ноль . Это качество включено в представление о том, чем является ноль . Следственно получается, что задача о том, как поделить число на ноль , не имеет решения. Это типичная обстановка, много задач в математике не имеют решения. Но как может показаться, из этого правила есть одно исключение. Да, ни одно число невозможно разделять на ноль , но чай сам ноль дозволено? Скажем, 0*x=0. Это чай правильное равенство. Но загвоздка в том, что на месте x может быть идеально всякое число. Следственно итогом такого уравнения стала бы идеальная неясность. Нет причин выбрать какой-нибудь один итог. Следственно ноль на ноль разделять тоже невозможно. Правда, в математическом обзоре с сходственными неопределенностями умеют справляться. Выясняют, нет ли в задаче дополнительных условий, вследствие которым становится допустимым «раскрыть неясность» — так это именуется. Но в арифметике так не делают.

Видео по теме

Для вычисления значений матрицы либо выполнения других математических расчетов используйте программу Microsoft Office Excel. Также вы можете воспользоваться и бесплатными ее аналогами, правило действия тут будет фактически идентичным.

Вам понадобится

  • — программа Microsoft Office Excel.

Инструкция

1. Запустите программу Microsoft Office Excel. В меню ввода данных впишите данную вам матрицу для дальнейшего вычисления ее определителя. Выделите одну из незанятых ячеек таблицы, позже чего введите следующую формулу: “=МОПРЕД(ak:fg)”. В данном случае ak будет обозначать координаты, соответствующие левому верхнему углу заданной матрицы, а fg – нижнему правому. Для приобретения определителя нажмите клавишу Enter. Надобное значение будет отображено в выбранной вами пустой ячейке.

2. Используйте функционал Excel для вычисления и других значений. В случае если вы не умеете применять формулы в Microsoft Office Excel, скачайте особую тематическую литературу, и позже прочтения вам будет довольно легко сориентироваться по данной программе.

3. Наблюдательно изучите названия значений формул в данном программном обеспечении, от того что при неправильном их вводе у вас могут испортиться сразу все итоги, в особенности это касается тех, кто исполняет сразу несколько идентичных вычислений по одной формуле единовременно.

4. Время от времени исполняйте проверку полученных в Microsoft Office Excel итогов вычисления. Это связано с тем, что в системе могли случиться какие-нибудь метаморфозы со временем, в частности это относится к тем, кто исполняет работу по образца. Неизменно нелишним будет ненужный раз сверить итоги сразу нескольких нынешних вычислений.

5. Также при работе с формулами будьте весьма осмотрительны и не допускайте происхождения в вашем компьютере вирусов. Даже в случае если операции с формулами в Microsoft Office Excel потребуется вам единоразово, изучите функционал данной программы в большей степени, от того что эти навыки помогут вам в будущем отменнее понимать автоматизацию учета и использовать Excel для выполнения определенных заданий.

jprosto.ru

Как делить матрицы Как? Так!

Содержимое:

3 части:

Если вы знаете, как перемножить две матрицы, можно приступить к «делению» матриц. Слово «деление» заключено в кавычки, потому что на самом деле матрицы делить нельзя. Операция деления заменяется операцией умножения одной матрица на матрицу, которая обратна второй матрице. Для простоты рассмотрим пример с целыми числами: 10 ÷ 5. Найдем число, обратное 5: 5-1 или 1/5, а затем деление заменим умножением: 10 x 5-1; при этом результат деления и умножения будет одним и тем же. Поэтому считается, что деление можно заменить умножением на обратную матрицу. Как правило, такие вычисления применяются для решения систем линейных уравнений.

Краткое резюме

  1. Делить матрицы нельзя. Вместо деления одну матрицу умножают на матрицу, обратную второй матрице. «Деление» двух матриц [A] ÷ [B] записывается так: [A] * [B]-1 или [B]-1 * [A].
  2. Если матрица [B] не является квадратной или если ее определитель равен 0, запишите «однозначного решения нет». В противном случае найдите определитель матрицы [B] и перейдите к следующему шагу.
  3. Найдите обратную матрицу: [B]-1.
  4. Перемножьте матрицы, чтобы найти [A] * [B]-1 или [B]-1 * [A]. Имейте в виду, что порядок перемножения матриц влияет на конечный результат (то есть результаты могут быть разными).

Шаги

Часть 1 Проверка «делимости» матриц

  1. 1 Разберитесь с «делением» матриц. На самом деле матрицы делить нельзя. Нет такой математической операции, как «деление одной матрицы на другую». Деление заменяется умножением одной матрицы на матрицу, обратную второй матрице. То есть запись [A] ÷ [B] не верна, поэтому ее заменяют такой записью: [A] * [B]-1. Так как обе записи являются равнозначными в случае скалярных величин, теоретически можно говорить о «делении» матриц, но все-таки лучше пользоваться правильной терминологией.
    • Обратите внимание, что [A] * [B]-1 и [B]-1 * [A] – это разные операции. Может быть, придется выполнить обе операции, чтобы найти все возможные решения.
    • Например, вместо (13263913)÷(7423) 2 Убедитесь, что матрица, на которую вы «делите» другую матрицу, является квадратной. Чтобы инвертировать матрицу (найти обратную матрицу), она должна быть квадратной, то есть с одинаковым количеством строк и столбцов. Если инвертируемая матрица не является обратной, однозначного решения нет.
      • Опять же, здесь матрицы не «делятся». В операции [A] * [B]-1 описанное условие относится к матрице [B]. В нашем примере это условие относится к матрице (7423) 3 Проверьте, можно ли перемножить две матрицы. Чтобы перемножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы. Если это условие не соблюдается в записи [A] * [B]-1 или [B]-1 * [A], решения нет.
        • Например, если размер матрицы [А] равен 4 х 3, а размер матрицы [B] равен 2 х 2, решения нет. Нельзя перемножить [A] * [B]-1, потому что 4 ≠ 2, и нельзя перемножить [B]-1 * [A], так как 2 ≠ 3.
        • Обратите внимание, что у обратной матрицы [B]-1 всегда то же количество строк и столбцов, что и у исходной матрицы [B]. Нет необходимости находить обратную матрицу, чтобы проверить, что две матрицы можно перемножить.
        • В нашем примере размер обеих матриц 2 х 2, поэтому их можно перемножить в любом порядке.
      • 4 Найдите определитель матрицы 2 × 2. Запомните: инвертировать матрицу можно только в том случае, если ее определитель не равен нулю (в противном случае инвертировать матрицу нельзя). Вот как найти определитель матрицы 2 х 2:
        • Матрица 2 х 2: определитель матрицы (abcd) То есть из произведения элементов главной диагонали (проходит через верхний левый и нижний правый углы) вычтите произведения элементов другой диагонали (проходит через верхний правый и нижний левый углы).
        • Например, определитель матрицы (7423) 5 Найдите определитель большей матрицы. Если размер матрицы равен 3 х 3 или больше, вычисление определителя немного усложняется.
          • Матрица 3 х 3: выберите любой элемент и зачеркните строку и столбец, в которых он находится. Найдите определитель получившееся матрицы 2 × 2, а затем умножьте его на выбранный элемент; знак определителя уточните в специальной таблице. Повторите описанный процесс для двух других элементов, которые находятся в одной строке или столбце с выбранным элементом. Затем найдите сумму полученных (трех) определителей. Прочитайте , чтобы получить дополнительную информацию о том, как находить определитель матрицы 3 х 3.
          • Большие матрицы: определитель таких матриц лучше искать при помощи графического калькулятора или программного обеспечения. Метод аналогичен методу нахождения определителя матрицы 3 × 3, но применять его вручную довольно утомительно. Например, чтобы найти определитель матрицы 4 х 4, нужно найти определители четырех матриц 3 х 3.
        • 6 Продолжите вычисления. Если матрица не является квадратной или если ее определитель равен нулю, напишите «однозначного решения нет», то есть процесс вычисления завершен. Если же матрица является квадратной и ее определитель не равен нулю, перейдите к следующему разделу.

Часть 2 Нахождение обратной матрицы

  1. 1 Поменяйте местами элементы главной диагонали матрицы 2 х 2. Если дана матрица 2 × 2, воспользуйтесь быстрым методом нахождения обратной матрицы. Для начала поменяйте местами верхний левый элемент и нижний правый элемент. Например:
    • (7423) 2 Оставшиеся два элемента местами не меняйте, но измените их знак. То есть верхний правый элемент и нижний левый элемент умножьте на -1:
      • (3427) 3 Найдите число, обратное значению определителя. Определитель этой матрицы был найден в предыдущем разделе, поэтому не будем вычислять его еще раз. Обратное значение определителя записывается так: 1 / (определитель):
        • В нашем примере определитель равен 13. Обратное значение: 113 4 Полученную матрицу умножьте на обратное значение определителя. Каждый элемент новой матрицы умножьте на обратное значение определителя. Конечная матрица будет обратна исходной матрице 2 х 2:
          • 113∗(3−4−27) 5 Проверьте правильность вычислений. Для этого умножьте исходную матрицу на обратную. Если вычисления правильные, произведение исходной матрицы на обратную даст единичную матрицу: (1001).
          • Примечание: операция перемножения матриц не является коммутативной, то есть важен порядок расположения матриц. Но при умножении исходной матрицы на обратную любой порядок приводит к единичной матрице.
        • 6 (или большего размера). Если вы уже знакомы с этим процессом, лучше воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. Если нужно найти обратную матрицу вручную, ниже приводится краткое описание процесса:
          • Присоедините единичную матрицу I с правой стороны исходной матрицы. Например, [B] → [B | I ]. У единичной матрицы все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.
          • Упростите матрицу так, чтобы привести ее левую сторону к ступенчатому виду; продолжите упрощение, чтобы левая сторона превратилась в единичную матрицу.
          • После упрощения матрица примет следующий вид: [I | B-1]. То есть ее правая сторона является матрицей, обратной исходной матрице.

Часть 3 Перемножение матриц

  1. 1 Запишите два возможных выражения. Операция умножения двух скаляров коммутативна, то есть 2 х 6 = 6 х 2. Это не так в случае умножения матриц, поэтому, возможно, придется решить два выражения:
    • x = [A] * [B]-1 – это решение уравнения x[B] = [A].
    • x = [B]-1 * [A] – это решение уравнения [B]x = [A].
    • Каждую математическую операцию выполняйте с обеих сторон уравнения. Если [A] = [C], то [B]-1[A] ≠ [C][B]-1, потому что [B]-1 находится слева от [A], но справа от [C].
  2. 2 Определите размер конечной матрицы. Размер конечной матрицы зависит от размеров перемножаемых матриц. Количество строк конечной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов конечной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы.
    • В нашем примере размер обеих матриц (13263913) 3 Найдите значение первого элемента. Прочитайте или вспомните следующие основные действия:
      • Чтобы найти первый элемент (первая строка, первый столбец) конечной матрицы [A][B]-1, вычислите скалярное произведение элементов первой строки матрицы [A] и элементов первого столбца матрицы [B]-1. В случае матрицы 2 x 2 скалярное произведение вычисляется так: a1,1∗b1,1+a1,2∗b2,1 4 Продолжите вычислять скалярные произведения, чтобы найти каждый элемент конечной матрицы. Например, элемент, расположенный во второй строке и первом столбце, равен скалярному произведению второй строки матрицы [A] и первого столбца матрицы [B]-1. Попробуйте самостоятельно найти оставшиеся элементы. Вы должны получить следующие результаты:
        • (13263913)∗(313−413−213713)=(−1107−5)

Прислал: Волкова Александра . 2017-11-06 10:59:21

kak-otvet.imysite.ru

Как делить матрицы

Матричная алгебра – раздел математики, посвященный изучению свойств матриц, их применению для решения сложных систем уравнений, а также правилам действий над матрицами, включая деление.

Инструкция

  • Существует три действия над матрицами: сложение, вычитание и умножение. Деление матриц, как таковое, действием не является, но его можно представить в виде умножения первой матрицы на матрицу, обратную ко второй:A/B = A·B^(-1).
  • Поэтому операция деления матриц сводится к двум действиям: поиску обратной матрицы и умножению ее на первую. Обратной называется такая матрица A^(-1), которая при умножении на A дает единичную матрицу.

  • Формула обратной матрицы: A^(-1) = (1/∆)•B, где ∆ - определитель матрицы, который должен быть отличен от нуля. Если это не так, то обратная матрица не существует. B – матрица, состоящая из алгебраических дополнений исходной матрицы А.
  • Например, выполните деление заданных матриц.

  • Найдите матрицу, обратную ко второй. Для этого вычислите ее определитель и матрицу алгебраических дополнений. Запишите формулу определителя для квадратной матрицы третьего порядка:∆ = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a31·a22·a13 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32 = 27.
  • Определите алгебраические дополнения по указанным формулам:A11 = a22•a33 - a23•a32 = 1•2 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6;A12 = -(a21•a33 - a23•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A13 = a21•a32 - a22•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A21 = -(a12•a33 - a13•a32) = -((-2)•2 - 1•2) = -(-4 - 2) = 6;A22 = a11•a33 - a13•a31 = 2•2 – 1•1 = 4 – 1 = 3;A23 = -(a11•a32 - a12•a31) = -(2•2 – (-2)•1) = -(4 + 2) = -6;A31 = a12•a23 - a13•a22 = (-2)•(-2) – 1•1 = 4 – 1 = 3;A32 = -(a11•a23 - a13•a21) = -(2•(-2) - 1•2) = -(-4 - 2) = 6;A33 = a11•a22 - a12•a21 = 2•1 – (-2)•2 = 2 + 4 = 6.
  • Разделите элементы матрицы алгебраических дополнений на величину определителя, равную 27. Таким образом, вы получили матрицу, обратную ко второй. Теперь задача сводится к умножению первой матрицы на новую.

  • Выполните умножение матриц по формуле C = A*B:c11 = a11•b11 + a12•b21 + a13•b31 = 1/3;c12 = a11•b12 + a12•b22 + a13•b23 = -2/3;c13 = a11•b13 + a12•b23 + a13•b33 = -1;c21 = a21•b11 + a22•b21 + a23•b31 = 4/9;c22 = a21•b12 + a22•b22 + a23•b23 = 2/9;c23 = a21•b13 + a22•b23 + a23•b33 = 5/9;c31 = a31•b11 + a32•b21 + a33•b31 = 7/3;c32 = a31•b12 + a32•b22 + a33•b23 = 1/3;c33 = a31•b13 + a32•b23 + a33•b33 = 0.

completerepair.ru

Деление матриц - Справочник химика 21

    Деление матриц. Операция деления в алгебраическом смысле для матриц не определена. Однако формально эта операция переносится на них и ее следует понимать как операцию отыскания обратной матрицы А при решении матричного уравнения АХ = = В, т. е. Х= А- В. [c.235]

    Станок состоит из станины, направляющей линейки с делениями, матрицы, ползуна, головки с ножом и электродвигателя. [c.5]

    Обратная матрица нового базиса находится делением строки с номером р = 2 матрицы (VI 11,236) на коэффициент разложения вектора VI по векторам прежнего [c.463]

    В матричной алгебре показывается, что это имеет место, когда ранг матрицы равен d. Для определения ранга матрицы ее преобразуют так, чтобы часть строк состояла из нулей. Число остальных строк, где не все элементы обратились в нули, равно рангу матрицы. Преобразование матрицы коэффициентов для определения ее ранга можно выполнить по следующим простым правилам. Вначале проводят деление первой строки на vu/vn l. Затем, вычитая из строки / первую строку Vij раз, получают матрицу с нулями в первом столбце  [c.103]

    Интеллектуальные системы аналитических преобразований (САП). В математическом обеспечении ЭВМ в последние годы все чаще присутствуют системы аналитических преобразований (САП). Они предназначены для облегчения программирования п решения задач, связанных с преобразованием математических выражений. Автоматизированное выполнение аналитических преобразований при помощи ЭВМ стало возможным благодаря развитию методов обработки символьной информации и искусственного интеллекта соответствующих языков программирования методов трансляции и организации памяти разработке вычисленных алгоритмов [62] и т. п. Под аналитическим преобразованием понимаем формальное преобразование математического выражения, заданного в символьном виде, по определенным правилам. Наиболее часто встречающимися операциями аналитического преобразования являются дифференцирование и интегрирование функциональных выражений подстановка вместо переменных констант и выражений упрощение выражений (свертка констант, приведение подобных членов в многочленах и т. п.) разрешение уравнений относительно заданных переменных действия над матрицами, элементами которых являются символьные выражения вынолнение алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) над арифметическими выражениями и т. п. [c.248]

    Преобразование матрицы коэффициентов для определения ее ранга можно выполнить по следующим простым правилам. Сначала производят деление первой строки на (Уц Ф 1), затем вычитая из строки / первую строку v раз, получают матрицу с нулями в первом столбце  [c.79]

    Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии определяется скалярным произведением столбца у на соответствующий столбец х , деленным на число опытов в матрице планирования М  [c.162]

    Генерация вариантов технологических схем. Поиск оптимального варианта технологической схемы по рассмотренному выше алгоритму производится с помощью контрольного списка, характеризующего каждую вершину и включающего в себя матрицу связей р. матрицу маршрутов деления р,1) вектор значений критерия оптимальности д вектор уровня завершенности схемы ПВ. [c.493]

    Если деление произведено, то в строку матрицы х заносится числовой индекс (единица). Номер позиции в строке соответствует номеру компонента в ранжированном списке компонентов, по которому произведено деление. Принимается, что этим компонентом является легколетучий компонент из пары в месте деления. Например, если точка деления определяется как min, то номер этого компонента соответственно равен т. Номер строки в матрице соответствует номеру вершины q. [c.494]

    В строку матрицы iZ) последовательно заносятся числовые значения, равные номеру позиции (точке деления) в строке матрицы связей X, в которую был занесен числовой индекс 1. Как и в мат- [c.494]

    В отдельных случаях, если неизвестно лучшее приближение, в качестве начального можно брать единичную матрицу. При вычислении обратной матрицы по этой итерационной формуле совсем не используются операции деления. Формула обладает квадратичной сходимостью. Для окончания процесса последовательных приближений можно воспользоваться оценкой суммы модулей элементов матрицы АХ, не лежащих на главной диагонали, для чего в исходной информации необходимо задать точность вычислений. [c.242]

    Полный расход рассчитывают исходя из тепловой нагрузки теплообменника, прироста (или падения) температуры жидкости и удельной теплоемкости воды и воздуха. Результаты приведены в 29-й строке таблицы. Необходимое число параллельных каналов для воды определяют путем деления полного расхода воды на расход воды через одну трубу. Полученное значение равно 13,2. Естественно, что количество каналов — целое число, поэтому в таблице приведено значение 13. Полное сечение матрицы на входе с воздушной стороны получают делением полного расхода воздуха на удельный расход воздуха на единицу площади (15-я строка) и на относительную долю полного сечения, свободную для прохода воздуха. Требуемую величину теплообменной поверхности получают как частное от деления полной тепловой мощности на коэффициент теплопередачи и среднелогарифмическую разность температур. Длину [c.222]

    Обработка статистических данных, представленных в форме матриц [Л] , заключается в расчете значений вероятностно-статистических и эксплуатационных характеристик надежности элементов БТС, а также в определении законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления элементов. Поскольку величины 1р. и tв , определяемые из матриц [А,](, являются случайными величинами, для средних значений характеристик надежности, вычисленных с помощью статистических соотношений, необходимо определить доверительные интервалы внутри границ которых с заданной вероятностью заключены их истинные значения. Это является важным при определении оптимальных сроков проведения планово-предупредительных ремонтов. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для характеристик надежности тв и гпн определяют, используя квантили х -распре-деления [c.167]

    П. представлены большой группой ферментов. ДНК-за-висимые ДНК-полимеразы участвуют в репликации (удвоении) ДНК в цикле деления клетки, репарации (устранении дефектов) ДНК и репликации ДНК митохондрий и хлоропластов матрицей для синтеза ДНК, катализируемого этими ферментами, служит односпиральная ДНК. Все семейства, роды и виды известных живых организмов содержат ферменты, не содержащие коферменты, и отличающиеся по мол. массе, кол-ву субъединиц, pH, при к-ром фермент обладает макс. активностью. [c.625]

    Фактор У вносит поправку па любые различия в значениях О (1 1 А) между влажным и высушенным состояниями, и его можно рассчитать делением значения С для сухой органической матрицы (обычно 3,2) на значение О для воды (3,67). Были проделаны различные измерения до и после обезвоживания на соседних участках объекта, так как было обнаружено, что при повторном анализе уже облученных областей пучок может приводить к сильному их повреждению. Массовая доля но влажном состоянии (С )вл ПОЛучаеТСЯ из соотношения (С1)вл=1—(С )сух-Схема расчета по методу с использованием непрерывного излучения приводится в приложении А. Различные рабочие примеры даются в приложении В. [c.84]

    Процесс клеточного деления, называемый митозом, начинает и завершает клеточный цикл, в ходе которого делится отдельная диплоидная клетка. С биохимической точки зрения митоз представляет собой удвоение числа генетических матриц с последующим формированием из них компактных образований — хромосом. Последние распределяются поровну между двумя новыми клетками (подробно этот процесс описан в гл. 15, разд. Г.9). [c.39]

    Детерминант матрицы Деление [c.426]

    Определитель квадратной матрицы М Деление выражения X на скаляр х, не равный нулю (если X является массивом, то на 2 делится каждый элемент массива) [c.426]

    Т. е. суммой квадратов разностей элементов матриц В( > и О, деленных на дисперсию соответствующего элемента О,/. Величина Х(, должна быть распределена по закону (см. раздел 8.2.2). Поэтому вычисленное по уравнению (2.26) значение следует, вообще говоря, сравнивать с табличным значением х абл соответствующего числа степеней свободы V и принятого уровня значимости а. Если > Х абл, Х абл гипотеза О к компонентах принимается с соответствующим уровнем значимости. [c.52]

    Кроме того, так как квадратичная форма (И 2 7) неотрицательна при всех значениях К, то Г(/) —эрмитова, положительно полуопре-деленная матрица Это значит, что любой главный минор Г(/) неотрицателен Например, при [c.233]

    По числу предоставляемых альтернатив вопросы можно разбить ка два класса. В один класс попадают вопросы, которые задают небольшое или, во всяком случае, ограниченное число альтернатив, а в другой — вопросы, которые задают бесконечное или по крайней мере большое число альтернатив. Деление вопросов на описанные два класса, безусловно, представляется интересным и важным, но для нас сейчас более существенно не количество предоставляемых альтернатив, а скорее способ (manner) их задания. Альтернативы либо явным образом перечисляются в вопросе, либо описываются путем отсылки к некоторому условию или матрице, где под последней имеется в виду предложение, в котором на местах имен стоят переменные. Так, в вопросе о латуни альтернативы эксплицитно содер- [c.29]

    В целевой вершине все элементы строки матрицы равны 1, что соответствует полностью завершенной схеме. Наличие в строке матрицы [X числового индекса 2 свидетельствует о том, что из системы выводится фракция, состоящая из двух или более компонентов. В этом случае размерность задачи синтеза существенно сокращается. Можно показать, что при делении семикомпонентной смеси с одним бинарным азеотропом число вариантов схем сокращается со 132 до 42. Размерность задачи еще более сокращается, если в строке j, содержится индекс 3. Этот индекс используется при наличии в разделяемой смеси компонентов, которые необходимо вывести в первую очередь. Индексы 4, 5 и 6 служат для ограничения пространства поиска только в той его части, в которой могут быть получены две или более фракций с заданными свойствами. Они используются на предварительном этапе синтеза, когда рассматриваются только те варианты схем разделения, в которых возможна организация теплового объединения внутри схемы. Здесь также отрабатывается заданная схема разделения отдельных компонентов, возможно, другим методом. На основании матрицы связей формируется матрица маршрутов делений. [c.494]

    При вычислении коэффициентов нолинома по методу Лаверъе отсутствуют операции деления, поэтому элементы матрицы могут быть любыми числами, в том числе и нулевыми. [c.285]

    Пример 3.2. Рассмотрим систему охлаждаемого гелием реактора и парогенератора, конструкция которой должна быть такова, что при выходе из строя газодувки, обеспечива1он.1,сй принудительную циркуляцию гелия, тепло, выделяемое в результате распада продуктов деления, сможет отводиться от реактора за счет тепловой конвекции. В первом приближении рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.23, с актив юй зоной реактора, эквивалентной матрице из вертикальных каналов с внутренним диаметром 0,0254 м и длиной 6,1 м. Гелий под давлением 21,09атл движется вверх через активную зону реактора и далее но трубопроводу, откуда поступает в верхнюю часть парогенератора. Затем оп движется вниз по трубному пучку с эквивалентным [c.66]

    Д- а = 5 и 7 см" соответственно, для СЗ Дуя = 23 см" при переходе от газа к жидкости, а для С5ег — 36 см . Как видно, чем меньше у сходственных молекул частота, т. е. упругость связи, тем сильнее ослабляет связь ван-дер-ваальсово взаимодействие. Изменяется при взаимодействии и вероятность переходов, т. е. интенсивность полос Нарушение первичной симметрии молекулы в результате взаимодей ствия ослабляет строгость правил отбора, в спектрах могут проявлять ся запрещенные частоты. В кристаллах поле симметрично распре деленных зарядов может привести к снятию вырождения, например в кристалле СОа снимается вырождение деформационного колебания V ) == 667 СМ и проявляются две частоты У 2 660 и 653 см . В спектре кристаллов могут проявляться также колебания решетки. Спектр молекул, изолированных в матрице (область менее 200—300 см" ), может отличаться от спектра свободных молекул, благодаря взаимодействию между ними и кристаллом матрицы, особенно для сильно полярных молекул. [c.178]

    Биологическая роль нуклеиновых кислот начала выясняться в конце 40-х — начале 50-х годов, когда впервые было выяснено, что ДНК, взятая у одной разновидности бактерий и введенная в другую разновидность, заставляет последнюю производить потомство с признаками, имеющимися у первой разновидности. Отсюда вытекало, что вместе с ДНК была перенесена наследственная информация — каким-то образом закодированный приказ строить белковые молекулы определенного типа. Эти работы стали исходной точкой быстрого прогресса в области молекулярной генетики , приближающего нас к познанию процесса синтеза белка в клетках, размножения клеток путем деления и в конечном итоге воспроизведения всего сложного животного или растительного организма в том виде, который характерен для родителей этого организма. Подробное обсуждение этих проблем увело бы нас далеко в область биохимии, в общих же чертах роль ДНК и РНК выглядит следующим образом. Молекулы ДНК находятся в клеточных ядрах, они содержат наследственную информацию в виде различной последовательности нуклеотидов. ДНК играет роль матрицы , с которой отпечатываются копии молекул РНК, непосредственно участвующих в синтезе белков. Таким образом, молекулы РНК служат передатчиками от ДНК к местам клетки, где непосредственно осуществляется синтез белка. Роль РНК в процессе синтеза белка была подтверждена опытами, выполненными в начале 60-х годов М. Ниренбергом и Д. Матеи. [c.351]

    Целесообразно рассматривать таблицу Менделеева как своеобразную матрицу, элементами которой являются собственно химические элементы. Роль строки выполняет здесь период, а роль столбца — группа. Совокупность этих характеристик должна обеспечивать инвариантность положения элемента в таблице. В свете современных представлений о строении атома принадлежность элемента к конкретному периоду определяется числом электронных слоев атома в нормальном, невозбужденном состоянии. Номер периода отвечает номеру внешнего слоя, который не завершен и заполняется электронами. А принадлежность элемента к той или иной группе определяется общим числом валентных электронов, т. е. электронов, находящихся на внешней и недостроенных внутренних оболочках . Например, хром [Сг1 [Arl "ЗdЧs и сера [Sl fNe] Зs 3/) являются элементами одной и той же VI группы, поскольку оба атома имеют по б валентных электронов. Отметим, что деление на периоды и группы введено Д. И. Менделеевым, который определил принадлежность элемента к конкретной группе, ориентируясь на химические свойства, в частности на форму и характер высших оксидов и гидроксидов. Действительно, такие непохожие друг на друга металлический хром и неметаллическая сера в высшей степени окисления, соответствующей номеру группы, образуют оксиды [c.8]

    В качестве примера- в табл. 2.3 отделены пять строк, соот-ветствуищих начальным пяти опытам для случа51 с четырьмя независимыми переменными. Путем деления на О,632 максимальный элемент) получена новая матрица. [c.14]

    Элементы матрицы Ллдт формируются из значений постоянных времени и коэффициентов при неизвестных координатах вектора а в (2.7.6), (2.7.12) с учетом (3.4.1). В формировании вектора B ax кроме правых частей уравнений (2.7.6), (2.7.12) участвует вектор 0(п-1)дт, координаты которого умножаются на соответствующие постоянные времени систем (2.7.6), (2.7.12), деленные на Дт. [c.131]

    Обратная матрица нового базиса находится делением строки с номером р = 2 матрицы (VIII, 236) на коэффициент x2i разложения вектора У по векторам прежнего базиса и вычитанием этой строки, умноженной на соответствующие коэффициенты разложения Хц и xsi, из остальных строк матрицы (VIII,236)  [c.458]

    В процессе деления клетки двойная спираль, состоящая из двух комплементарных полинуклеотидных цепей, раскручивается на отдельные цепи и одновременно начинается синтез новых полинуклеотидных цепей с участием ферментов в качестве катализаторов и исходных цепей ДНК в качестве матриц. Новая цепь, синтезирующаяся на одной из исходных цепей, идентична другой исходной цепи, в результате чего сохраняется комплементарность. Таким образом, когда процесс завер- [c.457]

    Упражнение. Докажите следующую лемму, если Н — положительно полуопре-деленная симметричная матрица, а / — антисимметричная матрица, если собственные значения матрицы А - НF обладают неотрицательной действительной частью. Более того, если действительная часть равна нулю, соответствующий собственный вектор является собственным вектором матриц Н и F по отдельности. Используйте эту лемму, чтобы показать, что (12.5.12) является решением уравнения (12.5.10). [c.330]

    На самом деле структура ДНК является еще более сложной, так как две составляющие ее полимерные спирали закручены в противоположном направлении иными словами, они антипараллельны. Если двигаться вдоль обеих спиралей в одном и том же направлении, то в одной из них связь между сахарными и фосфатными остатками будет -5, 3 - 5, 3 -5, 3 -, а в другой — -3, 5 -3, 5 -3, 5 -. Во время синтеза белка одна из цепей двойной спирали ДНК служит активным источником информации для клетки, являясь матрицей для образования так называемой информационной или матричной рибонуклеиновой кислоты (мРНК). При делении клетки обе нити двойной спирали выступают в роли матриц для синтеза комплементарных молекул ДНК. Таким образом, каждое дочернее ядро после деления содержит по паре нитей ДНК или по нескольку пар этих нитей, которые идентичны родительской ДНК. Этот процесс представлен схематически на рис. 27-6 и более подробно — на рис. 27-7. [c.485]

    Десорбционная ионизация основана на бомбардировке труднолетучего в-ва, помещенного в матрицу (глицерин, монотиоглицерин, полиэтиленгликоли, этаноламины и др. жидкости), пучками ускоренных частиц (атомы или ионы инертных газов Аг, Кг, Хе, а также ионы щелочньк металлов, напр. С ). В результате диффузионного обмена в жидкости с облучаемой пов-сти непрерывно удаляются продукты деструкции в-ва, что позволяет получать хорошо воспроизводимые масс-спектры. Применяют также метод ионизации тяжелыми продуктами деления радиоактивного и ионами тяжелых элементов, получаемыми на ускорителях. В местах попадания таких тяжелых частиц в мишень, к-рая представляет собой пленку исследуемого в-ва на металлич. фольге, металлизир. пластике или нитроцеллюлозе, за 10 " с достигаются т-ры до 3-10 °С. Такое быстрое нагревание позволяет ионизировать тяжелые молекулы без разложения. [c.660]

Рис. 14.2-2. Демонстрадия селективности, достигаемой химической ионизацией (отрицательно заряженные ионы) по сравнению с ионизацией электронным ударом (положительно заряженные ионы) для анализа экстракта почвы на бифенилы, а — общий ионный ток (ОИТ) в режиме электронного удара, при котором очевидно серьезное мешающее влияние комплексной матрицы б — ОИТ того же экстракта при детектировании отрицательно заряженных ионов в режиме химической ионизации с метаном. Хроматографические условия температура инжектора 250° С, объем пробы 1 мкл (без деления потока), колонка DB 5ms, 15 мх0,25 ммх 0,25 мкм, газ-носитель — гелий (0,3 бар), температура термостата 60°С (1 мин) —> 20°С/мин —> 280°С (10 мин), температура источника 250°С (электронный удар), 140°С (химическая ионизация) [14.2-2]. Рис. 14.2-2. Демонстрадия селективности, достигаемой <a href="/info/141302">химической ионизацией</a> (отрицательно <a href="/info/1038927">заряженные ионы</a>) по сравнению с <a href="/info/141594">ионизацией электронным ударом</a> (положительно <a href="/info/1038927">заряженные ионы</a>) для <a href="/info/1661090">анализа экстракта</a> почвы на бифенилы, а — <a href="/info/133026">общий ионный</a> ток (ОИТ) в режиме <a href="/info/18290">электронного удара</a>, при котором очевидно серьезное мешающее <a href="/info/1185677">влияние комплексной</a> матрицы б — ОИТ того же экстракта при детектировании отрицательно <a href="/info/1038927">заряженных ионов</a> в режиме <a href="/info/141302">химической ионизации</a> с метаном. <a href="/info/40771">Хроматографические условия</a> <a href="/info/1610206">температура инжектора</a> 250° С, <a href="/info/426654">объем пробы</a> 1 мкл (без <a href="/info/393253">деления потока</a>), колонка DB 5ms, 15 мх0,25 ммх 0,25 мкм, газ-носитель — гелий (0,3 бар), <a href="/info/1020959">температура термостата</a> 60°С (1 мин) —> 20°С/мин —> 280°С (10 мин), <a href="/info/139335">температура источника</a> 250°С (<a href="/info/18290">электронный удар</a>), 140°С (химическая ионизация) [14.2-2].
    Вариант 1. Задают число вертикальных линий деления—я— и создают три матрицы X,Y, Z одного размера (п х п). Роль аргументов при создании матриц играют углы ф и 0. Остальные параметры зависят от условия конкретной задачи. Соответствующие элементы матриц X,Y, Z однозначно определяют положение точек поверхности. После вызова шаблона Surfa e Plot, в поле ввода нужно записать блок матриц (X,Y, Z). Скобки следует указать обязательно. Примеры построения поверхности для тора приведены на рис. 3.11. [c.134]

    Приступаем к преобоазованию матрицы оптических плотностей (см. раздел 8.14), Первую строку оставляем без изменения. Все элементы первого столбца, кроме веду-шего, заменяем нулями, а все прочие преобразуем по формуле (8.8), т. е. из элемента Ау вычитаем произведение элементов Д-, и 01/, деленное на Он, например [c.42]

chem21.info

Действия с матрицами

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можетебесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Начнем.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами 

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов: Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка, то такие матрицы также называютвекторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точкизаписаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение:и– это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:  У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

 – умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если– окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.  

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример: Транспонировать матрицу 

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 – транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример: Транспонировать матрицу 

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

 

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.  НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример: Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример: Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

 

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу  можно было умножить на матрицунеобходимо,чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы.

Пример:  Можно ли умножить матрицу на матрицу?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла 

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.  Например, для матриц, ивозможно как умножение, так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Пример: Умножить матрицу на матрицуЯ буду сразу приводить формулу для каждого случая:

 – попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу на матрицу

Формула: 

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Будет время, распишу подробнее

6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы.

Данная тема достаточно обширна, и вынес даннай вопрос на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

studfiles.net

Действия над матрицами

1. Сложение матриц

Пусть матрицы A и B имеют одинаковый размер mn, т.е.

, .

Матрица C размера mn называется суммой матриц A и B, если

, ,

то есть чтобы сложить матрицы одинакового размера, необходимо сложить их соответствующие элементы.

2. Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

, , .

3. Умножение матриц

Произведением матрицы A размера mn и матрицы B размера nk называется матрица C размера mk, имеющая следующий вид:

,

где , , .

Замечание II.1. Отметим, что умножение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Замечание II.2. Из правила умножения матриц следует, что, вообще говоря, , то есть умножение матриц не коммутативно.

Пример II.1. Заданы матрицы

, .

Найти, если это имеет смысл, А+В, АВ, ВТ.

Решение. Так как матрицы квадратные, то для них все эти операции выполняются. Определим сумму матриц A и B, для этого вычислим суммы соответствующих элементов:

.

Вычислим произведение:

.

Для транспонирования матрицы B необходимо поменять местами соответствующие строки и столбцы:

.

Упражнение. Выяснить, какие из предложенных операций примера 1.1 выполнимы, если размерность матрицы A – mn, а матрицы B – nk.

Определитель матрицы

Если числовая матрица квадратная, то ее можно оценить (определить), то есть поставить в соответствие число.

Определение. Определителем  (или det A) матрицы A порядка n называется многочлен элементов этой матрицы.

Для матрицы порядка n определитель записывается в виде

.

Если матрица числовая, то значение определителя есть число, которое находят по известным правилам.

Свойства определителей

  1. Определитель матрицы не меняется при транспонировании матрицы.

.

  1. Определитель матрицы равен нулю, если он содержит строку (столбец), все элементы которой равны нулю.

  2. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) одинаковые.

  3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.

  4. Определитель матрицы меняет свой знак на противо-положный при перестановке местами любых двух строк (столбцов).

  5. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то он выносится за знак определителя как сомножитель.

  6. Если к одной строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, то определи-тель не изменится.

  7. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

.

Вычисление определителей

Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, то есть

.

Пример II.2. Вычислить определители:

  1. ;

;

.

Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:

(II.1)

Для запоминания используется мнемоническое правило – правило треугольников. Оно состоит в изображении (явном или мысленном) элементов матрицы точками. Точки, соответствующие произведениям, которые входят в формулу определителя, соединяются отрезками.

Главной диагонали и двум треугольникам, основания которых параллельны главной диагонали, соответствуют произведения со знаком “+”, а побочной диагонали и треугольникам, основания которых ей параллельны, соответствуют произведения со знаком “”.

Определение. Минором k-го порядка матрицы порядка n называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием n-k строк и n-k столбцов. Определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении вычеркнутых n-k строк и столбцов, называется дополнительным минором к минору k-го порядка, .

Определение. Минором элемента матрицы порядка n называется определитель порядка n-1, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца из определителя  исходной матрицы. Элемент и его минор являются взаимнодополнительными минорами, .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы порядка n называется минор этого элемента взятый со знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «», если сумма i+j нечетная, то есть

, . (II.2)

Определитель n-го порядка можно вычислить разложением по i-ой строке (j-ому столбцу). Например, для определителя 3-го порядка получаются следующие равенства:

,

или

, .

Пример II.3.

  1. Вычислим определитель по правилу треугольников:

.

  1. Вычислим определитель разложением по третьему столбцу. Определим алгебраические дополнения элементов третьего столбца:

,

,

.

Далее, по формуле (II.2), имеем

.

studfiles.net