Вывод формул обратных тригонометрических функций. Как вычислить арксинус


Арксинус, арккосинус - свойства, графики, формулы

Арксинус, arcsin

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  –π/2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x     arcsin(sin x) = x    

Арксинус иногда обозначают так:.

График функции арксинус

График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x     arccos(cos x) = x    

Арккосинус иногда обозначают так:.

График функции арккосинус

График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

  y = arcsin x y = arccos x
Область определения – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений  
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы    
Минимумы    
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° 180° π
– 60° 150°
– 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0

≈ 0,7071067811865476 ≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

     при или      при и      при и

     при или      при и      при и

     при      при

     при      при

Выражения через логарифмы, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;.См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:,где – многочлен степени . Он определяется по формулам:;;.См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t   и интегрируем по частям: .

Выразим арккосинус через арксинус: .

Разложения в ряды

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение: ; .

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:sin(arcsin x) = x     cos(arccos x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса: arcsin(sin x) = x     при arccos(cos x) = x     при .

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-07-2014   Изменено: 05-06-2017

1cov-edu.ru

Как найти арксинус

Обратная синусу тригонометрическая функция называется арксинусом. Она может принимать значения, лежащие в пределах половины числа Пи как в положительную, так и в отрицательную стороны при измерении в радианах. При измерении в градусах эти значения будут находиться, соответственно, в диапазоне от -90° до +90°.

Инструкция

  • Некоторые «круглые» значения арксинуса не обязательно вычислять, проще их запомнить. Например:- если аргумент функции равен нулю, то значение арксинуса от него тоже равно нулю;- арксинус от 1/2 равен 30° или 1/6 от числа Пи, если измерять в радианах;- арксинус от -1/2 равен -30° или -1/6 от числа Пи в радианах;- арксинус от 1 равен 90° или 1/2 от числа Пи в радианах;- арксинус от -1 равен -90° или -1/2 от числа Пи в радианах;
  • Для измерения значений этой функции от других аргументов проще всего воспользоваться стандартным калькулятором Windows, если под рукой есть компьютер. Чтобы запустить калькулятор раскройте главное меню на кнопке «Пуск» (мышкой или нажатием клавиши WIN), перейдите в раздел «Все программы», а затем в подраздел «Стандартные» и щелкните пункт «Калькулятор».
  • Переключите интерфейс калькулятора в тот режим работы, который позволяет вычислять тригонометрические функции. Для этого откройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт «Инженерный» или «Научный» (в зависимости от используемой операционной системы).
  • Введите значение аргумента, от которого надо вычислить арктангенс. Это можно делать, щелкая кнопки интерфейса калькулятора мышкой, или нажимая клавиши на клавиатуре, или скопировав значение (CTRL + C) и затем вставив его (CTRL + V) в поле ввода калькулятора.
  • Выберите единицы измерения, в которых вам нужно получить результат вычисления функции. Ниже поля ввода помещены три варианта, из которых вам нужно выбрать (щелкнув его мышкой) одни - градусы, радианы или рады.
  • Поставьте отметку в чекбоксе, который инвертирует функции, указанные на кнопках интерфейса калькулятора. Рядом с ним стоит короткая надпись Inv.
  • Щелкните кнопку sin. Калькулятор инвертирует привязанную к ней функцию, произведет вычисление и представит вам результат в заданных единицах измерения.

completerepair.ru

Вывод формул обратных тригонометрических функций

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за областью определения и значений. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения, которые определены не на всей области определения, а на одном из интервалов, где эти функции монотонны. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. При применении этих формул следует особо следить за областью значений. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения:sin(arcsin x) = x     cos(arccos x) = x     tg(arctg x) = x     ctg(arcctg x) = x    

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций. arcsin(sin x) = x     при arccos(cos x) = x     при arctg(tg x) = x     при arcctg(ctg x) = x     при При применении этих формул нужно следить, чтобы значение обратной функции попадало в соответствующий интервал главной области значений.

Если переменная x не попадает в этот интервал, то ее следует привести к этому интервалу, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое): sin x = sin(–x–π);     sin x = sin(π–x);     sin x = sin(x+2πn);cos x = cos(–x);     cos x = cos(2π–x);     cos x = cos(x+2πn);tg x = tg(x+πn);     ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что тоarcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Легко убедиться, что при   π – x   попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1:   и прибавим π:     или   Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Поскольку   то умножив на –1, имеем:   или   Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x

arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: и прибавим π/2: или Все правильно.

Итак,  

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x,   Y = arcsin y. Формула применима при. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x,   arcsin(–y) = – arcsin y,       то при разных знаках у x и y, X и Y также разного знака и поэтому неравенства     выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: .   То есть при     формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0, или X > 0 и Y > 0. Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .   Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0, до π, то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:;;;.Поскольку   и   ;   то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:;.Подставляем   sin X = sin arcsin x = x:;;;.

Итак, полученная формула справедлива при     или .

Теперь рассмотрим случай   x > 0, y > 0   и   x2 + y2 > 1. Здесь аргумент синуса принимает значения:   .   Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса   :

.

Итак, при и.

Заменив x и y на – x и – y, имеем при и. Выполняем преобразования: при и.Или при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов: при или ; при и ; при и .

Аналогичным способом получаются остальные формулы:

при или ;при и ; при и ;

при ; при ;

при ; при ;

при ; при ; при ;

при ; при ; при .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-07-2014

1cov-edu.ru

Арксинус | Алгебра

Что такое арксинус?

Понятие арксинуса появляется в ходе решения задачи нахождения числа по данному значению синуса этого числа.

Найдём функцию, обратную к функции y=sin x. Для этого выберем промежуток [-π/2; π/2], на котором функция y=sinx строго монотонна (возрастает), то есть выполняется условие обратимости:

arksinus

1) В формуле функции y=sin x на место x подставляем y, на место y — x:

x=sin y.

2) Из полученного равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определения арксинуса (арксинус x обозначают как arcsin x).

Определение

Арксинусом числа a называется такое число b из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен a:

    \[\arcsin a = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b \in [ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\\ \sin b = a \end{array} \right.\]

opredelenie-arksinusa

Таким образом, решение уравнения x=sin y на [-π/2; π/2] —

y=arsin x.

Так как функция y=sin x определена на промежутке [-π/2;π/2] и принимает на этом промежутке все значения [-1; 1], то область определения арксинуса — промежуток [-1; 1], область значений — [-π/2;π/2].

Таблица значений синуса из промежутка [-π/2; π/2] —

    \[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& { - \frac{\pi }{2}}&\vline& { - \frac{\pi }{3}}&\vline& { - \frac{\pi }{4}}&\vline& { - \frac{\pi }{6}}\\ \hline {\sin b}&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{1}{2}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& 0&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}}\\ \hline {\sin b}&\vline& 0&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1 \end{array}\]

Соответственно, таблица значений арксинуса —

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{1}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ \hline {\arcsin a}&\vline& { - \frac{\pi }{2}}&\vline& { - \frac{\pi }{6}}&\vline& { - \frac{\pi }{4}}&\vline& { - \frac{\pi }{3}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1\\ \hline {\arcsin a}&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}} \end{array}\]

Графики взаимно обратных функций y=arcsinx и y=sinx (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

sinus-i-arksinus

В алгебре (точнее, в тригонометрии. Раньше тригонометрия изучалась отдельным от алгебры и геометрии курсом) арксинус нужен для решения тригонометрических уравнений вида sin x=a.

www.algebraclass.ru

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

тригонометрическая окружность

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

связь основных функций и арков

Арксинус

Снимок экрана 2017-12-12 в 23.02.08

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

arcsin x

Свойства арксинуса:

  1.  Снимок экрана 2017-12-12 в 23.43.18
  2. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. На всей своей протяженности график возрастает.

Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

сравнение синуса и арксинуса

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Снимок экрана 2017-12-13 в 0.00.24

 

 

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

арккосинус

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — [0, π].
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

сравнение косинуса и арккосинуса

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

задание 1

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Снимок экрана 2017-12-15 в 15.55.15

арктангенс

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Снимок экрана 2017-12-15 в 15.59.09

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

сравнение тангенса и арктангенса

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Снимок экрана 2017-12-15 в 16.01.32

Снимок экрана 2017-12-15 в 16.02.17

арккотангенс

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

сравнение котангенса и арккотангенса

 

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

задание 2

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg.  Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Снимок экрана 2017-12-15 в 16.06.53

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

 

формулы арксинус и арккосинус

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

формулы арктангенс и арккотангенс

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

сума арков

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

Ход вычисления значения арков

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Типовой пример

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро.  Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

решение 1

Если вспомнить формулу  arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

решенеи 3

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1].  При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

 

 

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

cos (arcsin x)

Косинус арксинуса cos (arcsin x) легко вычисляется на основании определения синуса, косинуса, арксинуса и теоремы Пифагора.

По определению арксинуса: если  arcsin x = α, то sin α = x.

В прямоугольном треугольнике sin α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

    \[\sin \alpha = \frac{b}{c}.\]

Нам нужно вычислить косинус этого же угла α. По определению, косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

    \[\cos \alpha = \frac{a}{c}.\]

Таким образом, остается найти прилежащий катет по теореме Пифагора: 

    \[a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} .\]

Отсюда получаем искомый косинус арксинуса х:

    \[\cos (\arcsin x) = \frac{{\sqrt {{c^2} - {b^2}} }}{c},\]

где 

    \[x = \frac{b}{c}.\]

Хотя найти cos (arcsin x) можно и другим способом, с применением тригонометрической единицы, геометрическая интерпретация — инструмент, позволяющий в примерах такого вида обойтись без использования многих тригонометрических формул.

Примеры:

1) Найти cos (arcsin (5/13)).

Арксинус 5/13 — это число, синус которого равен 5/13. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно противолежащий катет b = 5, гипотенуза c = 13. По теореме Пифагора находим прилежащий катет

    \[a = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12.\]

Отсюда

    \[\cos (\arcsin \frac{5}{{13}}) = \frac{{12}}{{13}}.\]

2) Вычислить cos (arcsin (1/3)).

В этом примере x=1/3, отсюда противолежащий катет b=1, гипотенуза c=3. Находим прилежащий катет a:

    \[a = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\]

Отсюда искомое значение  cos (arcsin (1/3)) 

    \[\cos (\arcsin \frac{1}{3}) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]

3) Вычислить cos (arcsin (-1/3)).

так как arcsin (-α)= -arcsin α, а cos (- α)= cos α, то cos (arcsin (-1/3)) = cos (- arcsin (1/3)) =

    \[ = \cos (\arcsin \frac{1}{3}) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]

www.uznateshe.ru

Обратные тригонометрические функции, все формулы

Основные обратные тригонометрические функции:

1. \arcsin x – арксинус;

2. \arccos x – арккосинус;

3. \text{arctg}x – арктангенс;

4. \text{arcctg}x – арккотангенс.

Арксинус является нечетной функцией, то есть: \arcsin \left( -x \right)=\arcsin \left( x \right).

Для арккосинуса справедливо следующее равенство

    \[\arccos \left( -x \right)=\pi -\arccos x\]

Арктангенс функция нечетная, поэтому для нее справедливо следующее равенство

    \[\text{arctg}\ \left( -x \right)=-\text{arctg}x\]

Для функции арккотангенс справедливо следующее равенство

    \[\text{arcctg}\left( -x \right)=\pi -\text{arcctg}x\]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций можно пользоваться таблицей

Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com