Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари. Уравнение с 4 степенью как решать


Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 ∙ 2 + 5 = 9
2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6
2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x3 + 9x2 + 7x - 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x3 + 9x2 + 7x - 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5
-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3
-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x2 + 5x - 3)

Многочлен 2x2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2 -1
-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2 -1 0
-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

А корнями уравнения являются:

x = ±2; 3; 0.5

tutata.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 ++ a3x + a4 = 0,(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 ++ cx + d = 0,(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

или, раскрыв скобки, - в виде

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(10)

а также квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2 –– 20x – 5 = 0.(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 == (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 == y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 ++ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –– 4y2 + 8y – 4 –– 20y + 20 – 5 == y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

Ответ.

Решение уравнений четвертой степени метод ФеррариРешение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 == (y2 – 2y – 4) (y2 ++ 2y – 2).(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.



1. Приведение уравнения к каноническому виду.

Сделаем замену переменного по формуле:

Получим уравнение:

Раскроем скобки:

Получим уравнение:

Уравнение приведено к каноническому виду:

         

2. Решение уравнения

Способ №1. Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.

Верно тождество:

Поэтому:

Получили уравнение:

Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y, стоящего справа, обращался в нуль:

Мы получили кубическое уравнение.Вывод формул кубичекого уравнения. Если z - один из корней кубического уравнения:

то уравнение

запишется в виде:

Отсюда следует:

Необходимо решить два квадратных уравнения:

Получаем четыре корня:

Корни этих квадратных уравнений y1, y2, y3, y4 являются решением исходного уравнения

Рассмотрим случай, когда q=0

Уравнение

имеет четыре корня:

Способ №2. Решение Декарта-Эйлера.

Обоснование этого способа решения уравнения четвёртой степени находится в стадии разработки.

Эта программа находит четыре корня уравнения четвёртой степени двумя способами

Способ №1. Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Если q не равно нулю, то кубическое уравнение

всегда имеет положительный действительный корень, так как при z=0 значение многочлена в левой части уравнения отрицательно: -q^2/8, а при стремлении z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M, и так как непрерывная на отрезке [0; M] функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3, так как Cos(F/3)≥0 при 0≤F≤3/2*Pi, если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.

Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение

Способ №2. Решение Декарта-Эйлера.

После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения

Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.

Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.

Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0». Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Вывод корней кубического уравнения. На главную страницу.

ateist.spb.ru

Калькулятор уравнения четвертой степени

Уравнения четвертой степени имеет вид ах4; + bх3 + сх2 + ах + е = 0. Общее уравнение четвертой степени (также называемый биквадратным) является четвертой степени полиномиального уравнения. Бесплатный онлайн калькулятор расчета уравнения четвертой степени, используемый для нахождения корней уравнения.

Вычисление корней:

Например, Введите a=3, b=6, c=-123, d=-126 и e=1080

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

  • Примечание : Допустим что p и q квадратные корни из 2 ненулевых корней.
  • p = sqrt(y1)
  • q = sqrt(y3)
  • r = -g / (8pq)
  • s = b / (4a)
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3> = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Уравнением четвертой степени называется полиномиальное уравнение четвертого порядка вида, ax4+ bx3 + cx2 + dx + e = 0:

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3+ cx2 + dx + e = 0

где,

  • a = коэффициент для  x4
  • b = коэффициент для x3
  • c = коэффициент для x2
  • d = коэффициент для x
  • e = константа.
Решение уравнения четвертой степени:
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3 = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Пример 1:

Вычислить корни (x1, x2, x3, x4) уравнения четвертой степени, 3X4 + 6X3 — 123X2 — 126X + 1080 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значения a=3, b=6, c=-123, d=-126, e=1080.

Шаг 2:

Найдем x : Подставьте значения в приведенных ниже формул.

  • f = c — ( 3b ² / 8 )
  • g = d + ( b ³ / 8 ) — ( b x c / 2 )
  • h = e — ( 3 x b4 / 256 ) + ( b ² x c / 16 ) — ( b x d / 4 )
Шаг 3:

Представим как уравнение третьей степени : y ³ + ( f / 2 ) y ² + (( f ² — 4 x h ) / 16 ) y — g ² / 64 = 0

где,

  • a = коэффициент для y ³
  • b = коэффициент для y²
  • c = коэффициент для y
  • d = константа
Шаг 4:

Из приведенного выше уравнения, значения:

  • a = 1,
  • b = f/2,
  • c = (( f ² — 4 x h ) / 16 ),
  • d = — g² / 64.
Шаг 5:

Найдем y: Подставьте значения в формулу, чтобы найти корни.

дискриминант (Δ) = q3 + r2

  • q = (3c — b2) / 9
  • r = -27d + b(9c — 2b2)
  • s = r +√ (дискриминант)
  • t = r — √(дискриминант)
  • term1 = √(3.0) * ((-t + s) / 2)
  • r13 = 2 * √(q)
  • y1 = (- term1 + r13*cos(q3/3) )
  • y2 = (- term1 + r13*cos(q3+(2∏)/3) )
  • y3 = (- term1 + r13*cos(q3+(4∏)/3) )
Шаг 6:

Получим корни, y1 = 20.25 , y2 = 0 и y3 = 1.

Шаг 7:

После решения уравнения третьей степени решим уравнение четвертой степени.

Подставим y1, y2, y3 в p, q, r, s.

Примечание : Пусть p и q квадратные корни 2 ненулевых корней.

  • p = sqrt(y1) = 4.5
  • q = sqrt(y3) = 1
  • r = -g / (8pq) = 0
  • s = b / (4a) = 0.5
Шаг 8:

Мы получили корни, x1 = 5, x2 = 3, x3 = -4 и x4 = -6.

Практический пример решения уравнения четвертой степени.

wpcalc.com

Как решать уравнения четвертой степени

Освоив методы нахождения решения в случае работы с квадратными уравнениями, школьники сталкиваются с необходимостью подняться на более высокую степень. Однако этот переход не всегда кажется легким, и требование найти корни в уравнении четвертой степени иногда становится непосильной задачей.

Инструкция

  • Примените формулу Виета, которая устанавливает отношения между корнями уравнения в четвертой степени и его коэффициентами. Согласно ее положениям, сумма корней дает величину, равную отношению первого коэффициента ко второму, взятому с противоположным знаком. Порядок нумерации совпадает с убыванием степеней: первому соответствует максимальная степень, четвертому – минимальная. Сумма попарных произведений корней – это отношение третьего коэффициента к первому. Соответственно, сумма, составленная из произведений х1х2х3, х1х3х4, х1х2х4, х2х3х4 – величина, равная противоположному результату деления четвертого коэффициента на первый. А перемножив все четыре корня, вы получите число, равное отношению свободного члена уравнения к коэффициенту, стоящему перед переменной в максимальной степени. Составленные таким образом четыре уравнения дают вам систему с четырьмя неизвестными, для решения которой достаточно базовых навыков.
  • Проверьте, не относится ли ваше выражение к одному из типов уравнений четвертой степени, которые называются "легко решаемыми": биквадратному или возвратному. Первое превратите в квадратное уравнение, сделав замену параметров и обозначив возведенную в квадрат неизвестную через другую переменную.
  • Используйте стандартный алгоритм решения возвратных уравнений четвертой степени, в которых стоящие на симметричных позициях коэффициенты совпадают. Для первого шага разделите обе части уравнения на квадрат искомой неизвестной переменной. Полученное выражение преобразуйте таким образом, чтобы можно было сделать замену переменной, превращающую исходное уравнение в квадратное. Для этого в вашем уравнении должны остаться три слагаемых, два из которых содержат выражения с неизвестной: первое – сумма ее квадрата и обратной величины, второе – сумма переменной и ее обратной величины.

completerepair.ru

Уравнения 4 степени с помощью решателя

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решения данного рода уравнений можно выполнять по общей схеме решения уравнений высших степеней. Данного рода уравнения имеют решения в радикалах благодаря методу Феррари, позволяющему свести решения к кубическому уравнению. Однако в большинстве случаев с помощью разложения многочлена на множители удается быстро найти решение уравнения.

Решить уравнения 4 степени

Так же читайте нашу статью "Решить уравнения онлайн по алгебре решателем"

Допустим, дано двучленное уравнение четвертой степени:

\[4x^4 + 1 = 0\]

Выполним разложение \[4x^4+1\] на множители многочлена:

\[4x^4+1=4x^4+4x^2-4x^2+1=(2x^2+1)^2-4x^2=(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1)\]

Определяем корни первого квадратного трехчлена:

\[2x^2-2x+1=0\]

\[D=(-2)^2-4 \cdot2 \cdot1=-4\]

\[x_1= \frac{2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} +i\]

\[x_2=\frac{2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} -i\]

Определяем корни второго трехчлена:

\[2x^2+2x+1=0\]

\[D=2^2-4\cdot2\cdot1=-4\]

\[x_3= \frac{-2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} +i\]

\[x_4= \frac{-2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} -i\]

В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:

\[x=\frac{1}{2}\pm i\]

\[x=-\frac{1}{2}\pm i\]

Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru

5. Уравнения третьей и четвёртой степени

Заадача№1

Решить уравнение третьей степени по формуле Кардано:

x3-3x2-3x-1=0.

Решение :Приведём уравнение к виду , не содержащему второй степени неизвестного. Для этого воспользуемся формулой

x = y –, где а коэффициент при x2.

Имеем : x=y+1.

(y+1)3-3(y+1)2-3(y+1)-1=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены ,получим:

y3- 6y-6=0.

Для корней кубического уравнения y 3+py+q=0 имеется формула Кардано:

yi= (i=1,2,3,),где значение радикала

,=.

Пусть α1 –одно /любое/ значение радикала α. Тогда два других значения находятся следующим образом:

α2= α1ε1 , α3= α1ε2, где ε1= + i, ε2= – i - корень третьей степени из единицы.

Если положить β1= – , то получим β2= β1ε2, β3= β1ε1

Подставляя полученные значение в формулу yi = αi+βi,найдём корни уравнения

yi+py+q =0:

y1= α1+β1,

y2= -1/2(α1+β1) + i( α1-β1),

y3= -1/2(α1+β1) – i( α1-β1),

В нашем случае p = -6, q= - 6.

α= =

Одно из значений этого радикала равно . Поэтому положим α1=. Тогда β1= – = – =,

y1=,

y2= ) + i ),

y2= ) – i ).

Наконец, находим значение x по формуле x = y+1.

x1=

x2= ) + i ) + 1,

x3= ) – i ) + 1.

Задача№2

Решить способом Феррари уравнение четвёртой степени :

x4-4x3+2x2-4x+1=0.

Решение: Перенесём три последних члена в правую часть и оставшиеся два члена дополним до полного квадрата .

x4-4x3=-2x2+4x-1,

x4-4x3+4x2=4x2-2x2+4x-1,

(x2-2x)2=2x2+4x-1.

Введём новое неизвестное следующим образом:

(x2-2x+)2=2x2+4x-1+(x2-2x)y+,

(x2-2x+)2=(2+y)x2+(4-2y)x+() /1/.

Подберём y так, чтобы и правая часть равенства была полным квадратом .Это будет тогда ,когда B2-4AC=0, где A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Имеем:B2-4AC=16-16y+4y2-y3-2y2+4y+8=0

Или y3-2y2+12y-24=0.

Мы получили кубическую резольвенту ,одним из корней которой является y=2. Подставим полученное значение y=2 в /1/,

Получим (x2-2x+1)2=4x2.Откуда (x2-2x+1)2-(2x)2=0 или (x2-2x+1-2x) (x2-2x+1+2x)=0.

Мы получим два квадратных уравнения:

x2-4x+1=0 и x2+1=0.

Решая их, находим корни первоначального уравнения:

x1=2-, x2=2+, x3=-I, x4=i.

6.Рациональные корни многочлена

Задача№1

Найти рациональные корни многочлена

f(x)=8x5-14x4-77x3+128x2+45x-18.

Решение :Для того, чтобы найти рациональные корни многочлена ,пользуемся следующими теоремами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами ,то p есть делитель свободного члена, а q- делитель старшего коэффициента многочлена f(x).

Замечание: Теорема 1 даёт необходимое условие для того, чтобы рациональное число . Было корнем многочлена ,но этого условия недостаточно , т.е. условие теоремы 1 может выполняться и для такой дроби , которая не является корнем многочлена.

Теорема 2: Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то при любом целом m ,отличном от , число f(m) делится на число p-qm, т.е целое число.

В частности полагая m=1, а затем m=-1, получим:

если корень многочлена, не равный ±1,то f(x) (p-q) и f(-x):.(p+q) , т.е. - целые числа.

Замечание: Теорема 2 даёт ещё одно необходимое условие для рациональных корней многочлена. Это условие удобно тем, что оно легко проверяется практически. Находим сначала f(1) и f(-1), а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя бы одно из чисел дробное, то корнем многочлена f(x) не является.

Решение: По теореме 1 корни данного многочлена следует искать среди несократимых дробей, числители которых являются делителями 18, а знаменателями 8. Следовательно, если несократимая дробь есть корень f(x), то p равно одному из чисел : ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q равно одному из чисел

±1, ±2,±4, ±8.

Учитывая, что = , = , знаменатели дробей будем брать лишь положительными.

Итак, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±.

Воспользуемся вторым необходимым.

Так как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда в частности следует, что 1 и -1 не являются корнями f(x). Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при m=1 и m=-1, т. е. будем устанавливать, целыми или дробными являются числа : = и =

Результаты сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д” означают соответственно, целым или дробным является число или

P

2

-2

3

-3

6

-6

9

-9

18

-18

1

-1

3

-3

9

-9

1

-1

3

-3

9

-9

1

-1

3

-3

9

-9

Q

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

4

8

8

8

8

8

8

ц

ц

ц

ц

д

д

ц

д

д

д

ц

ц

ц

д

д

д

ц

д

ц

д

д

д

д

ц

д

д

ц

д

ц

ц

ц

ц

ц

ц

ц

ц

ц

д

д

д

Из полученной таблицы видно, что и являются целыми лишь в тех случаях, когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .

По следствию из теоремы Безу число α- корень f(x) тогда и только тогда, когда f(x) (x-α). Следовательно, для проверки оставшихся девяти целых чисел можно применить схему Горнера деление многочлена на двучлен.

8

-14

-77

128

45

-18

2

8

2

-73

-18

9

0

2

8

18

-37

-92

-172≠0

2 – корень.

Отсюда имеем : x=2 – простой корень f(x). Остальные корни данного многочлена совпадают с корнями многочлена.

F1(x) = 8x4+2x3-73x2-18x+9.

Аналогично проверим остальные числа.

8

2

-73

-18

9

-2

6

-14

-45

72

-139≠0

3

8

26

5

-3

0

3

8

50

155

462≠0

-3

8

2

-1

0

-3

8

-22

65≠0

9

8

74

665≠0

½

8

6

2≠0

-1/2

8

-2

0

-1/2

8

6≠0

3/2

8

10≠0

1/4

8

0

-2 – не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 – не корень, ½ - не корень , -1/2 –корень, 3/2 – не корень, ¼ - корень.

Итак, многочлен f(x)= 8x5-14x4-77x3+128x2+45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3, -3, -1/2, ¼}.

studfiles.net